Algoritmo efficiente per colorazioni dei bordi quasi ottimali degli ipergrafi

I problemi di colorazione dei grafici sono già abbastanza difficili per la maggior parte delle persone . Anche così, dovrò essere difficile e porre un problema sulla colorazione dell'ipermetrografo.

Domanda.

Quali algoritmi efficienti ci sono per trovare una colorazione dei bordi approssimativamente ottimale per gli ipergrafi k-uniformi?

Dettagli ---

• Un ipergrafo k-uniforme è uno in cui ogni bordo contiene esattamente k vertici; il solito caso di un grafico semplice è k = 2. Più precisamente, sono interessato agli ipergrafi con k uniforme, in cui due spigoli possono effettivamente avere lo stesso set di vertici; ma mi accontenterò di qualcosa sugli ipergrafi k-regolari con i bordi che si intersecano a non più di k-1 vertici.

• Una colorazione dei bordi degli ipergrafi è quella in cui i bordi dello stesso colore non si intersecano, come nel caso dei grafici. L'indice cromatico χ '(H) è il numero minimo di colori richiesto, come al solito.

• Vorrei risultati su algoritmi temporali polinomiali deterministici o randomizzati.

• Sto cercando il più noto fattore di approssimazione / gap additivo tra ciò che può essere trovato in modo efficiente e l'effettivo indice cromatico χ '(H) --- o, per quella materia, il miglior risultato raggiungibile in termini di efficienza in termini di parametri come il massimo grado di vertice Δ (H), la dimensione dell'ipermetrografo, ecc.

Modifica: spinto dalle osservazioni di Suresh sui doppi ipergrafi di seguito, dovrei notare che questo problema è equivalente al problema di trovare una colorazione vertice forte di un ipergrafo k-regolare : cioè, dove ogni vertice appartiene a k bordi distinti [ma i bordi potrebbe ora contenere un numero diverso di vertici] e desideriamo una colorazione del vertice in modo tale che due vertici adiacenti abbiano colori diversi. Anche questa riformulazione non sembra avere una soluzione ovvia.

Osservazioni

Nel caso dei grafici, il teorema di Vizing non solo garantisce che il numero cromatico del bordo per un grafico G sia Δ (G) o Δ (G) +1, le prove standard di esso forniscono anche un algoritmo efficiente per trovare un Δ (G ) + 1-edge-colorazione. Questo risultato sarebbe abbastanza buono per me se fossi interessato al caso k = 2; tuttavia, sono specificamente interessato a k> 2 arbitrario.

Non sembrano esserci risultati ben noti sui limiti della colorazione dell'ipermetrografo, a meno che non si aggiungano restrizioni come ogni bordo che si interseca nella maggior parte dei vertici. Ma non ho bisogno di limiti su χ '(H) stesso; solo un algoritmo che troverà una colorazione del bordo "abbastanza buona". [Inoltre, non voglio porre alcuna limitazione ai miei ipergrafi, tranne che per essere k-uniforme, e forse limiti al massimo grado di vertice, ad esempio Δ (H) ≤ f (k) per alcuni f ∈ ω (1) .]

[ Addendum. Ora ho posto una domanda correlata su MathOverlow sui limiti del numero cromatico, costruttivo o meno.]

La risposta che segue rompe la tua condizione secondo cui non vuoi che vengano poste delle restrizioni sul tuo ipergrafo, ma potrebbe essere interessante anche solo come lavoro correlato.

$r$$r$

Ci sono stati alcuni lavori recenti su tali problemi di "colorazione colorata" per gli spazi geometrici, motivati ​​in parte da problemi nelle reti di sensori. Una domanda standard che viene posta è:

$k$$S$$c_S(k)$$c_S(k)$$r$$S$$\min(|r|, k)$

Pertanto, è la quantità che stai cercando (dove è la massima cardinalità di un intervallo).$c_S(\Delta)$$\Delta$

Una domanda correlata è determinare , dove è lo spazio a doppio intervallo (in effetti, il tuo ipergrafo originale). Un esempio del tipo di risultati ottenuti è che :$c_\tilde{S}(k)$$\tilde{S}$

Poiché è lo spazio dei semipiani in ,$S$$\Re^2$$c_S(k) \le 3k-2$

Un buon riferimento per questo corpus di lavori è il documento DCG di Aloupsis et al , e i riferimenti in esso.