Problemi succinti in

Lo studio della rappresentazione succinta dei grafici è stato avviato da Galperin e Wigderson in un articolo del 1983, in cui dimostrano che per molti semplici problemi come trovare un triangolo in un grafico, la corrispondente versione succinta in . Papadimitriou e Yanakkakis approfondiscono questa linea di ricerca e dimostrano che per un problema che è -completo / , la corrispondente versione Succinct, ovvero Succinct è rispettivamente, -completo e -completo. (Mostrano anche che se è$\mathsf{NP}$$\Pi$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\Pi$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{EXP}$$\Pi$$\mathsf{NL}$-completo, quindi Succinct è -completo.$\Pi$$\mathsf{PSPACE}$

Ora la mia domanda è: ci sono problemi noti per i quali, la versione Succinct corrispondente è in ? Sarei interessato a conoscere altri risultati correlati (sia positivi che impossibili, se del caso) che avrei potuto perdere sopra. (Non sono riuscito a individuare nulla di interessante da una ricerca su google, poiché parole di ricerca come succinta, rappresentazione, problemi, grafici portano a quasi tutti i risultati di complessità! :))$\Pi$$\mathsf{P}$

Ecco un problema interessante la cui versione sintetica ha proprietà interessanti. Definire Circuito-Grandezza- per essere il problema: data una funzione booleana come 2 n stringa di bit, ha questa funzione ha un circuito di dimensioni al massimo 2 n / 2 ? Nota questo problema è in N P .$2^{n/2}$$2^n$$2^{n/2}$$NP$

Un modo per definire Succinct-Circuit-Size- sarebbe: per una costante k , dato un n- input, n k -size circuit C , vogliamo sapere se la sua tabella di verità è un'istanza di Circuit-Size - 2 n / 2 . Ma questo è un problema banale: tutti gli ingressi che sono circuiti reali sono esempi di sì. Quindi questo problema è in$2^{n/2}$$k$$n$$n^k$$C$$2^{n/2}$ .$P$

Un modo più generale per definire Succinct-Circuit-Size- sarebbe: ci viene dato un circuito arbitrario C e vogliamo sapere se la sua tabella di verità codifica un'istanza di Circuit-Size- 2 n / 2 . Ma se n è il numero di input per C , m è la dimensione di C e m ≤ 2 n / 2 , possiamo accettare automaticamente: l'input stesso è un testimone per la lingua. Altrimenti, abbiamo m ≥ 2 n / 2 . In tal caso, la lunghezza di input $2^{n/2}$$C$$2^{n/2}$$n$$C$$m$$C$$m \leq 2^{n/2}$$m \geq 2^{n/2}$$m$è già enorme, quindi possiamo provare tutti i possibili P . assegnazioni in m O ( 1 ) tempo, ottenere la tabella di verità della funzione, e ora siamo di nuovo alproblema N P originale. Quindi questo è un problema in N P la cui versione sintetica è anche in$2^n$$m^{O(1)}$$NP$$NP$$NP$

Si ritiene che questo problema non sia -hard; vedi l'articolo di Kabanets e Cai (http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html)$NP$

Dato che anche decidere se il grafico rappresentato da una data rappresentazione succinta contenga almeno un bordo o meno è equivalente al circuito SAT e quindi NP-completo, si è tentati di affermare che qualsiasi proprietà interessante di una rappresentazione succinta dovrebbe essere NP-difficile sotto una definizione adatta di "interessante". Questa affermazione sarebbe un analogo teorico della complessità per il teorema di Rice . Purtroppo, trovare l'analogo teorico della complessità più generale del teorema di Rice è un problema aperto , sebbene ci siano risultati che danno alcune forme di analoghi teorici della complessità.

Non intendevo che questa fosse una risposta, ma richiederebbe troppi commenti. Spero sia utile.

Come sottolinea Tsuyoshi, è allettante indovinare che tutte le proprietà "non banali" sono difficili (NP-difficile per esempio). Tuttavia, per dimostrarlo, è necessario definire non banali. Nel teorema di Rice, le proprietà non banali sono tutte le proprietà tranne la proprietà che include tutti i linguaggi calcolabili e la proprietà che non include un linguaggio calcolabile. È meno chiaro quale sia la giusta definizione di non banale per problemi succinti. Sicuramente le proprietà che contengono tutte le stringhe o nessuna stringa sono in P. Ma ce ne sono anche altre in P. Ad esempio, la proprietà che corrisponde a stringhe il cui bit centrale è 0. O Π contiene tutte le stringhe di 2 n bit in modo tale che ogni 2 n /$\Pi$$\Pi$$2^n$$2^n/x$-th bit è 1, dove . Quindi, come possiamo definire "banale" per includere questo tipo di proprietà?$x = n^{O(1)}$

Un'idea è quella di guardare quei che sono "simmetrici": se una stringa s è in Π , allora anche ogni permutazione dei bit di s è in Π . Tali proprietà dipendono solo dal numero di 1 bit in una stringa. In una risposta alla domanda che Tsuyoshi ha collegato, Ryan Williams fornisce un collegamento a questo documento che dimostra che tutti questi problemi sono difficili.$\Pi$$s$$\Pi$$s$$\Pi$

Altre idee su come definire "proprietà non banale"? Possiamo considerare come una famiglia di funzioni booleane (le funzioni dell'indicatore della proprietà per ciascuna lunghezza della stringa). Mi sembra che le proprietà non banali siano quelle per le quali la corrispondente famiglia di funzioni booleane ha complessità non banale. Ad esempio, possiamo dimostrare che le proprietà la cui famiglia di funzioni booleane associata hanno una complessità dell'albero della decisione lineare sono difficili?$\Pi$