Problemi succinti in


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Lo studio della rappresentazione succinta dei grafici è stato avviato da Galperin e Wigderson in un articolo del 1983, in cui dimostrano che per molti semplici problemi come trovare un triangolo in un grafico, la corrispondente versione succinta in . Papadimitriou e Yanakkakis approfondiscono questa linea di ricerca e dimostrano che per un problema che è -completo / , la corrispondente versione Succinct, ovvero Succinct è rispettivamente, -completo e -completo. (Mostrano anche che se è ΠNPΠNPPΠNEXPEXPΠNL-completo, quindi Succinct è -completo.ΠPSPACE

Ora la mia domanda è: ci sono problemi noti per i quali, la versione Succinct corrispondente è in ? Sarei interessato a conoscere altri risultati correlati (sia positivi che impossibili, se del caso) che avrei potuto perdere sopra. (Non sono riuscito a individuare nulla di interessante da una ricerca su google, poiché parole di ricerca come succinta, rappresentazione, problemi, grafici portano a quasi tutti i risultati di complessità! :))ΠP


che tipo di problema stai cercando? sicuramente, alcune proprietà del grafico banali rimangono banali anche nella versione succinta, ad esempio la proprietà soddisfatta da ogni grafico e la proprietà soddisfatta da nessun grafico. forse stai cercando un immobile tranne questi due?
Sasho Nikolov

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Innanzitutto, ho voluto ricordare che i risultati di Papadimitriou e Yannakakis richiedono completezza per un tipo speciale di riduzione. (Eppure il loro risultato può essere applicato a un gran numero di problemi.)
Bruno,

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Ora sulla tua domanda: dal momento che hai un esponenziale scoppio nella complessità della versione succinta di un problema (in generale), probabilmente implicherebbe che il tuo problema originale è risolvibile in tempo logaritmico? Ma poi un problema risolvibile in tempo logaritmico può effettivamente essere risolto in tempo costante. Pertanto, la versione succinta può anche essere risolta in tempo costante. Sono abbastanza convinto che il mio "argomento" sopra abbia troppe lacune per essere del tutto corretto, ma almeno significa che i tuoi problemi devono essere molto speciali all'inizio.
Bruno,

@SashoNikolov Naturalmente, sto cercando proprietà grafiche non banali. L'ho trovato abbastanza sorprendente inizialmente che il controllo se un grafico ha un triangolo sarebbe Completa! In effetti, se si considera il problema di rilevare se una stringa di input ha un 1 è esattamente il problema di soddisfazione del circuito nel mondo Succint (controllare l'indagine del tour casuale di Ryan sul suo limite inferiore per una discussione interessante). Questo esempio particolare è stato ciò che mi ha spinto a pensare se ci possono essere problemi la cui versione succint è in P.NP1
Nikhil,

@Bruno Stavo pensando sulle stesse linee, ma non ho ancora potuto immediatamente dare un esempio concreto!
Nikhil,

Risposte:


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Ecco un problema interessante la cui versione sintetica ha proprietà interessanti. Definire Circuito-Grandezza- per essere il problema: data una funzione booleana come 2 n stringa di bit, ha questa funzione ha un circuito di dimensioni al massimo 2 n / 2 ? Nota questo problema è in N P .2n/22n2n/2NP

Un modo per definire Succinct-Circuit-Size- sarebbe: per una costante k , dato un n- input, n k -size circuit C , vogliamo sapere se la sua tabella di verità è un'istanza di Circuit-Size - 2 n / 2 . Ma questo è un problema banale: tutti gli ingressi che sono circuiti reali sono esempi di sì. Quindi questo problema è in2n/2knnkC2n/2 .P

Un modo più generale per definire Succinct-Circuit-Size- sarebbe: ci viene dato un circuito arbitrario C e vogliamo sapere se la sua tabella di verità codifica un'istanza di Circuit-Size- 2 n / 2 . Ma se n è il numero di input per C , m è la dimensione di C e m 2 n / 2 , possiamo accettare automaticamente: l'input stesso è un testimone per la lingua. Altrimenti, abbiamo m 2 n / 2 . In tal caso, la lunghezza di input m2n/2C2n/2nCmCm2n/2m2n/2mè già enorme, quindi possiamo provare tutti i possibili P . assegnazioni in m O ( 1 ) tempo, ottenere la tabella di verità della funzione, e ora siamo di nuovo alproblema N P originale. Quindi questo è un problema in N P la cui versione sintetica è anche in N2nmO(1)NPNPNP

Si ritiene che questo problema non sia -hard; vedi l'articolo di Kabanets e Cai (http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html)NP


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è molto bello e fa a pezzi ogni intuizione che pensavo di avere ..
Sasho Nikolov

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Dato che anche decidere se il grafico rappresentato da una data rappresentazione succinta contenga almeno un bordo o meno è equivalente al circuito SAT e quindi NP-completo, si è tentati di affermare che qualsiasi proprietà interessante di una rappresentazione succinta dovrebbe essere NP-difficile sotto una definizione adatta di "interessante". Questa affermazione sarebbe un analogo teorico della complessità per il teorema di Rice . Purtroppo, trovare l'analogo teorico della complessità più generale del teorema di Rice è un problema aperto , sebbene ci siano risultati che danno alcune forme di analoghi teorici della complessità.


Grazie per il puntatore! Questa è stata un'ottima risposta di Russell alla domanda che hai collegato!
Nikhil,

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Non intendevo che questa fosse una risposta, ma richiederebbe troppi commenti. Spero sia utile.

Come sottolinea Tsuyoshi, è allettante indovinare che tutte le proprietà "non banali" sono difficili (NP-difficile per esempio). Tuttavia, per dimostrarlo, è necessario definire non banali. Nel teorema di Rice, le proprietà non banali sono tutte le proprietà tranne la proprietà che include tutti i linguaggi calcolabili e la proprietà che non include un linguaggio calcolabile. È meno chiaro quale sia la giusta definizione di non banale per problemi succinti. Sicuramente le proprietà che contengono tutte le stringhe o nessuna stringa sono in P. Ma ce ne sono anche altre in P. Ad esempio, la proprietà che corrisponde a stringhe il cui bit centrale è 0. O Π contiene tutte le stringhe di 2 n bit in modo tale che ogni 2 n / xΠΠ2n2n/X-th bit è 1, dove . Quindi, come possiamo definire "banale" per includere questo tipo di proprietà?X=nO(1)

Un'idea è quella di guardare quei che sono "simmetrici": se una stringa s è in Π , allora anche ogni permutazione dei bit di s è in Π . Tali proprietà dipendono solo dal numero di 1 bit in una stringa. In una risposta alla domanda che Tsuyoshi ha collegato, Ryan Williams fornisce un collegamento a questo documento che dimostra che tutti questi problemi sono difficili.ΠSΠSΠ

Altre idee su come definire "proprietà non banale"? Possiamo considerare come una famiglia di funzioni booleane (le funzioni dell'indicatore della proprietà per ciascuna lunghezza della stringa). Mi sembra che le proprietà non banali siano quelle per le quali la corrispondente famiglia di funzioni booleane ha complessità non banale. Ad esempio, possiamo dimostrare che le proprietà la cui famiglia di funzioni booleane associata hanno una complessità dell'albero della decisione lineare sono difficili?Π


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Nel Teorema di Rice, la chiave è che le uniche proprietà consentite sono le proprietà della lingua L (M), piuttosto che la macchina M (eppure una descrizione di M è l'input al problema). Un analogo per i problemi concisi del grafico sarebbe qualcosa di simile: proprietà che dipendono solo dal tipo di isomorfismo del grafico.
Joshua Grochow,

@JoshuaGrochow sembra un'ottima idea. Si riferisce anche all'intuizione della complessità del mio albero decisionale (che le proprietà con complessità lineare dell'albero decisionale sono difficili) tramite la congettura di evasività, almeno per le proprietà monotone.
Sasho Nikolov,
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