Costruire vettori in posizione generale

Consenti a una vera $k\times n$ ( $k\le n$ ) una matrice ${\bf A}$ con la proprietà che qualsiasi raccolta di $k$ colonne sia al massimo.

D: C'è un modo efficace per trovare un vettore deterministicamente ${\bf a}$ modo tale che la matrice aumentata ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ conserva la stessa proprietà di ${\bf A}$ : tutte lecolonne $k$ sono al massimo.

Sidenote pertinente: una matrice che ha questa proprietà è il generatore di un codice Reed-Solomon $(n,k)$ : l'aggiunta di colonne che conservano la sua struttura Vandermonde conserva la proprietà rank.

— Dimitris
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Non sono sicuro di aver capito il tuo punto. Richiedo

k \leq n

$k\le n$ ,

k = n

$k=n$ non è un problema.

— Dimitris

@ Jɛ ﬀ E k non cambia: nel caso di k = n, solo n delle colonne (ora) n + 1 devono essere al massimo. In questo caso, il problema dovrebbe essere semplice: trova una trasformazione affine della matrice in una base ortogonale di R ^ n, quindi lascia che sia un vettore la cui immagine sotto questo è il vettore tutti 1.

— Suresh Venkat,

Mi sembra che questo dovrebbe essere un modo per farlo tramite Grassmanian, ma non vedo bene come.

— Suresh Venkat,

a

${\bf a}$

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

bella domanda sembra una versione più debole del problema di verifica della proprietà isometria limitata, che è completamente aperta per quanto ne so.

— Sasho Nikolov,

$\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— Jeffε
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Non posso che essere d'accordo :). Il problema si presenta quando si desidera verificare che tale vettore funzioni (indipendentemente dal fatto che funzioni come). Devi selezionare sottoinsiemi di colonne. Questo problema di controllo diventa più rilevante se si considerano i campi finiti (di ordine fisso), ma ho cercato di evitare di parlarne.

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

— Dimitris

La domanda chiede specificamente per un efficiente deterministico algoritmo. Se rispondi a qualcosa di correlato ma non soddisfa la condizione indicata nella domanda, dovresti dirlo esplicitamente secondo me.

— Tsuyoshi Ito,

@TsuyoshiIto cosa, non ti piacciono i gattini? :)

— Suresh Venkat,

@Suresh: In pratica, sarebbe divertente se il mio computer si trasformasse improvvisamente in un gattino. In teoria, però, per prima cosa devi definire un gattino.

— Tsuyoshi Ito,

@ Jɛ ﬀ E Forse avrei dovuto chiarire perché questa domanda è di qualche interesse. La vera domanda è la stessa ma su campi finiti, ma tendo a pensare che i campi complicino le domande di algebra lineare. L'applicazione è la progettazione di "buone" matrici di generatori di codici. Quelli casuali (voci iid) possono essere mostrati per soddisfare la proprietà whp, usando strumenti come il lemma di Schwartz-Zippel. Per questo problema SZ di solito richiede ordini sul campo di e non è possibile verificare in modo efficiente che le matrici funzionino davvero. Perché questo è importante? Perché i codici che sono probabilmente affidabili non sono a volte preferiti.

O (2^{k})

$O(2^k)$

— Dimitris,