Incorporamenti di distorsione media

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Considerare due spazi metrici e , e un'immersione . Gli incorporamenti di spazi metrici tradizionali misurano la qualità di come rapporto peggiore tra distanza originale e distanza finale: $(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

Esistono altre misure di qualità: Dhamdhere et al studiano la distorsione "media":

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

Tuttavia, la misura che mi interessa qui è quella utilizzata dai metodi simili a MDS, che esamina l' errore dell'additivo medio :

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

Sebbene i metodi simili a MDS siano ampiamente studiati al di fuori della comunità della teoria CSS, sono a conoscenza di un solo articolo ( di Dhamdhere et al ) che esamina l'ottimizzazione in base a questa misura, e anche questo per il limitato problema dell'incorporamento nella linea ( ) (nota a margine: la tesi di MS 2005 di Tasos Sidiropoulos ha una bella recensione dei lavori precedenti) $Y = \mathbb{R}$

C'è qualche lavoro più recente di cui le persone sono a conoscenza riguardo a rigorose analisi di qualità sotto questa nozione di errore? Mentre questi problemi sono generalmente NP-difficili, ciò che mi interessa di più sono approssimazioni di qualsiasi tipo.

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— Suresh Venkat
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3

$\epsilon^2$

$O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

$\log^c(n)$

— Moritz
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è un buon suggerimento. Esaminerò sicuramente il lavoro di etichettatura metrica. È noto che anche l'incorporamento nella linea è MAX SNP-difficile, ma sarebbe interessante (anche se deludente) vedere risultati più forti.

— Suresh Venkat,

2

$\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

$\ell_2$

— Aditya
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Buon punto. Ho cambiato la mia risposta.

— Moritz,

ϵ

$\epsilon$

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$ . Possiamo ottenere un tale incorporamento per, per esempio, espansori (grado const)? (o dimostrare che non è possibile?)

— aditya,