Risolvere efficacemente un sistema di rigide disuguaglianze lineari con tutti i coefficienti pari a 1 senza utilizzare un solutore LP generale?

Per il titolo, oltre all'utilizzo di un solutore LP per scopi generali, esiste un approccio per risolvere i sistemi di disuguaglianze rispetto alle variabili dove le disuguaglianze hanno la forma ? Che dire del caso speciale di disuguaglianze che formano un ordine totale rispetto alle somme dei membri del gruppo di potere di ? $x_i, \ldots, x_k$ $\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j$ $\{x_i, \ldots, x_k\}$

ds.algorithms linear-algebra linear-programming

— jonderry
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@Ankur: non importa se sono numeri interi o reali. Se si tratta di disuguaglianze rigorose, è possibile arrotondarle a razionali e quindi moltiplicarle per il minimo denominatore comune per ottenere una soluzione intera.

— Peter Shor,

Non ho idea di cosa puoi scrivere in 30 minuti (in quale lingua?). Se questo è il criterio per "semplice", è davvero una domanda nell'informatica teorica?

— Tsuyoshi Ito,

Buon punto Peter Shor. jonderry, riprendo la mia dichiarazione. Pensavo che il problema combinatorio di soddisfare queste disuguaglianze rigorose e il problema analitico convesso di trovare un punto interno di un cono siano qualitativamente distinti. Mi sbagliavo.

— Ankur,

@Tsuyoshi: non deve essere banale, ma sono curioso di sapere se questo può essere fatto dai primi principi senza usare tutta la potenza extra di un solutore LP completo, specialmente per il caso speciale in cui abbiamo un ordine di tutte le somme di sottoinsieme (notare in questo caso che il tempo polinomiale è esponenziale nel numero di variabili).

— jonderry,

Quindi penso che "Questo problema può essere risolto in modo efficiente senza utilizzare algoritmi generali per la programmazione lineare?" è un buon modo per formulare meglio la tua domanda.

— Tsuyoshi Ito,

Per la tua prima domanda, senza l'ordine totale, la risposta alla tua domanda è che è essenzialmente dura come la programmazione lineare. Ecco uno schema di una prova.

$x_1>0$ $\epsilon$ $x_i$ $1$

ϵ ≪ 1 .

$\epsilon \ll 1\, .$

x_{1} < x_{2},

$x_1 < x_2,$

x_{1} + x_{2} < x_{3},

$x_1 + x_2 < x_3,$

x_{2} + x_{3} < x_{4},

$x_2+x_3 < x_4,$

N x_{1} < x_{i}

$Nx_1 < x_i$

ϵ < 1 / N

$\epsilon < 1/N$

N

$N$

N

$N$

i

$i$

$x_t$

x_{t} < x_{t^{'}} < x_{t^{″}} < x_{t} + ϵ

$x_t < x_{t'} < x_{t''} < x_t + \epsilon$

x_{t} + x_{t^{'}} + x_{t^{″}}

$x_t + x_{t'} + x_{t''}$

x_{t}

$x_t$

x_{u} \approx 2 x_{t}

$x_u \approx 2x_t$

x_{v} \approx 2 x_{u}

$x_v \approx 2x_u$

x_{i} = 1

$x_i = 1$ . Questa tecnica ci consentirà di utilizzare programmi lineari nella forma del PO per verificare approssimativamente la fattibilità di programmi lineari arbitrari con coefficienti interi, un compito che è essenzialmente duro quanto la programmazione lineare.

Non so come analizzare la seconda domanda, chiedendo il caso in cui esiste un ordine totale su tutti i sottoinsiemi.

— Peter Shor
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