Qual è il problema "più vicino" alla congettura di Collatz che è stata risolta con successo?

Sono interessato al problema "più vicino" (e "più complesso") alla congettura di Collatz che è stata risolta con successo (che Erdos ha affermato che "la matematica non è ancora matura per tali problemi"). È stato dimostrato che una classe di problemi "simili a Collatz" è indecidibile. Tuttavia, problemi che sono vagamente simili come il gioco MIU di Hofstadter (risolto, ma certamente più un problema di giocattoli) sono effettivamente decidibili o sono stati risolti.

Domande correlate

Congettura di Collatz e grammatiche / automi

— VZN
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Poiché si tratta di HTML e non di LaTeX, è più semplice se si incorporano i riferimenti in cui sono pertinenti.

— Suresh Venkat,

TCS / angoli empirici su collatz /

— refs

C'è almeno una persona che afferma che "la congettura di Collatz" è la risposta unica alla tua domanda. Sono scettico sulla completezza della prova collegata, ma non ho ancora abbastanza tempo per analizzarla.

— Boyd Stephen Smith Jr.

FYI ecco un nuovo articolo di Michel che analizza bene l'area che collega l'indecidibilità a un quadro teorico dei numeri generali, problemi nella teoria dei numeri da una competizione di castori indaffarati

— vzn

Risposte:

Un commento esteso:

Le sequenze simili a collatz possono essere calcolate da piccole macchine di Turing con pochi simboli e stati. In " Piccole macchine di Turing e competizione generalizzata di castori indaffarati " di P. Michel (2004), c'è un bel tavolo che posiziona problemi simili a Collatz tra TM decidibili (per cui il problema di arresto è decidibile) e Universal TM.

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Esistono TM che calcolano sequenze simili a Collatz per le quali la decidibilità è ancora un problema aperto: , $TM(5,2)$ e (dove è l'insieme di Turing Machine con stati e simboli). Non so se i risultati sono stati confermati. $TM(3,3)$ $TM(2,4)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

Dalla composizione del documento:

... L'attuale linea simile a Collatz è già al suo livello più basso possibile, con la possibile eccezione di , ma ipotizziamo che tutte le macchine in questo set possano essere dimostrate decidibili ... $TM(4,2)$

Vedi anche " La complessità delle piccole macchine universali di Turing: un sondaggio " di D. Woods e T. Neary (2007).

$\mu = 2, v=3,0\rightarrow 00, 1 \rightarrow 1101$

— Marzio De Biasi
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per completare la risposta: Conway ha mostrato che ci sono sequenze simili a Collatz che sono indecidibili ams.org/mathscinet-getitem?mr=392904 . cioè una sequenza simile al collatz può simulare una macchina di turing universale.

— Sasho Nikolov,

grazie! il sondaggio / i risultati di mitchell sono fantastici! Per un chiarimento nella tabella, una "T" in una cella indica che esiste una TM (k, l) che è equivalente alla congettura di collatz. la prospettiva suggerisce anche che la congettura collatz non è semplicemente una curiosità teorica isolata ma probabilmente un fenomeno superficiale di qualcosa di più profondo nella teoria della calcolabilità. ps anche molto interessato se qualche "collatz like problem" una volta aperto fosse mai stato risolto ...?

— vzn,

Considera la funzione , dove quando è pari e quando è dispari. Quindi si sa che per ogni esiste un $T: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ $T(n)=n/2$ $n$ $T(n)=n+1$ $n$ $n \in \mathbb N$ $k \in \mathbb N$ $T^{(k)}(n)=1$

$T(n)=n+1$ $n$ $T(n)=3n+1$ $n$

— Craig Feinstein
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Non penso che questo soddisfi la parte "più complessa" della domanda, in quanto uno studente motivato della scuola elementare può identificare l'idea chiave dietro la prova della tua affermazione con un po 'di pensiero.

— Yonatan N,

Ma se è più complesso e ancora risolto, non assomiglierà più alla congettura di Collatz. Inoltre, il titolo della sua domanda indica che dà la priorità al "più vicino" al "più complesso".

— Craig Feinstein,