Qual è il pregiudizio dei polinomi casuali con basso grado su GF (2)?


13

pdbias(p)|Prx{0,1}n(p(x)=0)Prx{0,1}n(p(x)=1)|>ϵ

* Quando scrivo un polinomio casuale con gradi e n variabili, puoi pensare a ciascun monoma di grado totale scelto con probabilità 1/2.dd

L'unica cosa rilevante che conosco è una variante di Schwartz-Zippel che afferma che se il polinomio è incoerente, il suo pregiudizio è al massimo . Quindi, per la probabilità è esattamente 1 / {2 ^ {{n \ scegli 1} + \ ldots + {n \ scegli d}}} dove questa è la probabilità che p sia una costante. Sfortunatamente, questo \ epsilon è abbastanza grande.121dϵ=121d1/2(n1)++(nd)pϵ


1
Che cos'è f in bias (f)?
Tyson Williams,

Risposte:


5

L'articolo "I polinomi casuali di basso grado sono difficili da approssimare" di Ben-Eliezer, Hod e Lovett risponde alla tua domanda. Mostrano forti limiti sulla correlazione dei polinomi casuali di grado con i polinomi di grado al massimo , analizzando la distorsione dei polinomi casuali. Vedi il loro Lemma 2: il bias di un polinomio di grado- casuale (fino a qualche che è lineare in ) è al massimo , tranne con probabilità .dd1ddn2Ω(n/d)2Ω((nd))


Ciao @david, la tua risposta è stata molto utile. Volevo chiederti una cosa via e-mail, puoi inviarmi un messaggio?
Avishay Tal,

5

La tua domanda è equivalente ai limiti di coda sulla distribuzione del peso dei codici Reed-Muller. Comprendere la distribuzione del peso dei codici Reed-Muller è una domanda vecchia e stimolante nella teoria dei codici, e sono noti diversi risultati interessanti al riguardo (la distribuzione del peso è completamente compresa solo per e d = 2 ). Come ottimo punto di partenza, vedi "Distribuzione del peso e dimensioni di decodifica delle liste dei codici Reed-Muller" di Tali Kaufman, Shachar Lovett, Ely Porat e i riferimenti in esse.d=1d=2

Utilizzando il nostro sito, riconosci di aver letto e compreso le nostre Informativa sui cookie e Informativa sulla privacy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.