Qual è il pregiudizio dei polinomi casuali con basso grado su GF (2)?

$p$$\le d$$bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

* Quando scrivo un polinomio casuale con gradi e n variabili, puoi pensare a ciascun monoma di grado totale scelto con probabilità 1/2.$\le d$$\le d$

L'unica cosa rilevante che conosco è una variante di Schwartz-Zippel che afferma che se il polinomio è incoerente, il suo pregiudizio è al massimo . Quindi, per la probabilità è esattamente 1 / {2 ^ {{n \ scegli 1} + \ ldots + {n \ scegli d}}} dove questa è la probabilità che p sia una costante. Sfortunatamente, questo \ epsilon è abbastanza grande.$1-2^{1-d}$$\epsilon=1-2^{1-d}$$1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$$p$$\epsilon$

L'articolo "I polinomi casuali di basso grado sono difficili da approssimare" di Ben-Eliezer, Hod e Lovett risponde alla tua domanda. Mostrano forti limiti sulla correlazione dei polinomi casuali di grado con i polinomi di grado al massimo , analizzando la distorsione dei polinomi casuali. Vedi il loro Lemma 2: il bias di un polinomio di grado- casuale (fino a qualche che è lineare in ) è al massimo , tranne con probabilità .$d$$d-1$$d$$d$$n$$2^{-\Omega(n / d)}$$2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

La tua domanda è equivalente ai limiti di coda sulla distribuzione del peso dei codici Reed-Muller. Comprendere la distribuzione del peso dei codici Reed-Muller è una domanda vecchia e stimolante nella teoria dei codici, e sono noti diversi risultati interessanti al riguardo (la distribuzione del peso è completamente compresa solo per e d = 2 ). Come ottimo punto di partenza, vedi "Distribuzione del peso e dimensioni di decodifica delle liste dei codici Reed-Muller" di Tali Kaufman, Shachar Lovett, Ely Porat e i riferimenti in esse.$d=1$$d=2$