Il gap zero integrity implica zero duality gap per alcuni problemi?

Sappiamo che se il divario tra i valori di un programma intero e il suo doppio (il "divario di dualità") è zero, allora i rilassamenti di programmazione lineare del programma intero e il doppio del rilassamento, entrambi ammettono soluzioni integrali (zero "integralità gap "). Voglio sapere se il contrario vale, almeno in alcuni casi.

$P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$ $A$ $0-1$ $P'$ $P$ $P'$

Gradirei qualsiasi contro-esempio o puntatore ..

— Ankur
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@Kaveh non è sicuro che l'algoritmo di approssimazione sia il tag giusto qui. o anche ds.algorithms

— Suresh Venkat,

Nel primo paragrafo cosa intendi per doppio di un programma intero? È utile guardare il libro di Schrijver sulla programmazione lineare e intera per comprendere le basi della teoria poliedrica e in particolare quando i rilassamenti della programmazione lineare hanno vertici interi. Le matrici TUM e i sistemi di disuguaglianze TDI sono rilevanti per la tua domanda.

— Chandra Chekuri,

@Suresh, la programmazione lineare e l'ottimizzazione non rientrano negli algoritmi?

— Kaveh,

@ChandraChekuri Sto parlando di programmi lineari interi; quindi il doppio è il doppio standard di un ILP per il quale vale la dualità debole. La difficoltà qui è che condizioni sufficienti per l'integralità delle soluzioni (primarie) di LP (come TUM / equilibrate ecc.) Sembrano passare attraverso il concetto apparentemente più forte di integralità delle soluzioni del primal e del suo doppio LP. Questo mi ha fatto domandare se l'integrità della soluzione primaria implichi l'integralità della soluzione doppia, almeno per i coefficienti integrali. PS: Potrei semplicemente andare a piedi a Siebel e potremmo parlare lì! Ero nella tua classe alcuni anni fa!

— Ankur,

Questa domanda particolare è più vicina ai tag che ha attualmente.

— Suresh Venkat,

Ecco un'istanza che potrebbe essere vicina a un controesempio al reclamo.

Considera LP e la sua doppia per la matrice $P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$ $P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$ $12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

Una soluzione ottimale di è data da (tutte le altre variabili sono zero), con il valore della funzione obiettivo di . La soluzione ottimale di è data dal vettore . Se si risolve come programma intero, il valore ottimale della funzione obiettivo è solo e è una soluzione ottimale. $P'$ $y_1=y_2=y_{12}=1$ $3$ $P$ $x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$ $P$ $2$ $x = [1~0~0~1~0~0]$

In sintesi, l'LP ha una soluzione ottimale integrale, ma la sua doppia non ha una soluzione ottimale integrale. I ruoli primordiali doppi sono invertiti dal set che Ankur voleva. Ma data la natura della dualità LP, questa istanza potrebbe ancora essere considerata un controesempio alla dichiarazione generale del reclamo originale. $P'$ $P$

— kbala
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Grazie! Funziona! Come hai avuto questo esempio? C'è una classe di problemi da cui è tratto?

— Ankur,

La matrice è una modifica della matrice perimetrale di una striscia di Mobius, riportata nel nostro documento sui cicli omologhi ottimali. Di recente ho giocato con matrici di questo tipo, e quindi in qualche modo naturalmente ho iniziato con questa matrice per creare l'esempio che ho dato.

— kbala,