Coefficienti di Fourier linearmente indipendenti

Una proprietà di base degli spazi vettoriali è che uno spazio vettoriale $V \subseteq \mathbb{F}_2^n$ della dimensione $n-d$ può essere caratterizzato da $d$ vincoli lineari linearmente indipendenti - cioè, esistono $d$ vettori linearmente indipendenti $w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$ che sono ortogonali a $V$ .

Da una prospettiva di Fourier, questo equivale a dire che la funzione di indicatore di V è d linearmente indipendenti coefficienti non zero Fourier. Si noti che 1 V ha 2 d coefficienti di Fourier diversi da zero in totale, ma solo d di essi sono linearmente indipendenti.$1_V$$V$$d$ $1_V$$2^d$$d$

Sto cercando una versione approssimativa di questa proprietà degli spazi vettoriali. In particolare, sto cercando una dichiarazione del seguente modulo:

Sia della dimensione 2 n - d . Quindi, la funzione indicatore 1 S ha al massimo d ⋅ log ( 1 / ε $S \subseteq \mathbb{F}_2^n$$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ coefficienti di Fourier indipendenti linearmente il cui valore assoluto è almeno .$\varepsilon$

Questa domanda può essere vista dal punto di vista della "Struttura contro casualità" - Intuitivamente, una simile affermazione afferma che ogni grande set può essere scomposto in una somma di uno spazio vettoriale e un piccolo set distorto. È ben noto che ogni funzione può essere scomposta in una "parte lineare" di cui ha p o l y ( 1 / ε ) grandi coefficienti di Fourier, e una "parte pseudocasuale" che ha distorsione piccola . La mia domanda si chiede se la parte lineare abbia solo un numero logaritmico di coefficienti di Fourier linearmente indipendenti .$f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

Il seguente non è un contro-esempio?

Sia la maggioranza di x 1 , … , x 1 / ϵ 2 , che è un indicatore di un insieme di dimensioni 2 n / 2 , quindi d = 1 . Tuttavia, f ( { i } ) = Θ ( ε ) per 1 ≤ i ≤ 1 / ε 2 , in modo da avere 1 / ε $f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ grandi coefficienti di Fourier linearmente indipendenti.

Forse vuoi quello che a volte viene chiamato "Lemma di Chang" o "Lemma di Talagrand" ... qui chiamato "Disuguaglianza di Livello 1": http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

Implica che se ha media 2 - d allora il numero di coefficienti di Fourier linearmente indipendenti il ​​cui quadrato è almeno γ 2 - d è al massimo O ( d / γ 2 ) . (Questo perché una trasformazione lineare F 2 sull'input non modifica la media, quindi è sempre possibile spostare i caratteri di Fourier linearmente indipendenti al grado 1).$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$