Esistono prove di esistenza di algoritmi non costruttivi?

Ricordo che avrei potuto incontrare riferimenti a problemi che si sono dimostrati risolvibili con una particolare complessità, ma senza un algoritmo noto per raggiungere effettivamente questa complessità.

Faccio fatica a pensare a come può essere il caso; come sarebbe una prova non costruttiva dell'esistenza di un algoritmo.

Esistono davvero tali problemi? Hanno molto valore pratico?

Considera la funzione (presa da qui )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Nonostante l'aspetto, è calcolabile dal seguente argomento. O$f$

1. verifica per ogni n o$0^n$$n$
2. c'è una affinché 0 k si verifica ma 0 k + 1 non.$k$$0^k$$0^{k+1}$

Non sappiamo quale sia (ancora), ma sappiamo che con$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. e$f_\infty(n) = 1$
2. .$f_k(n) = [n \leq k]$

Dal momento che , f è calcolabile - ma non possiamo dire cosa sia f .$F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

Questo potrebbe non essere esattamente quello che vuoi dire, ma l' algoritmo ottimale minimo di sph tree di Seth Pettie e Vijaya Ramachandran è in un certo senso non costruttivo.

È una domanda aperta se esiste un algoritmo deterministico per calcolare alberi di spanning minimi nel tempo lineare (che significa ). Pettie e Ramachandran descrivono un algoritmo che calcola gli MST in tempo lineare se esiste un tale algoritmo .$O(n+m)$

Intuitivamente, il loro algoritmo riduce qualsiasi esempio -vertex del problema MST a O ( n / k ) istanze più piccole con O ( k ) i vertici in tempo lineare, dove (diciamo) k = O ( log log log log log log log n ) . Quindi calcolano l'albero di confronto ottimale che calcola l'albero di spanning minimo di qualsiasi grafico k -vertex mediante enumerazione della forza bruta; anche se ciò richiede un tempo esponenziale quintuplicamente in k , è solo $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$ tempo. Infine, risolvono le piccole istanze usando questo albero decisionale ottimale.$O(\log\log n)$

In altre parole, Pettie e Ramachandran costruiscono un algoritmo MST ottimale solo indirettamente, costruendo un algoritmo che costruisce un algoritmo MST ottimale.

Ecco due esempi.

1. Alcuni algoritmi che usano il teorema di Robertson-Seymour . Il teorema afferma che esiste un'ostruzione limitata per ciascun caso, ma non fornisce un modo per trovare un insieme così limitato. Pertanto, sebbene possiamo provare che l'algoritmo esiste, la dichiarazione esplicita dell'algoritmo dipenderà dal set di ostruzioni finito che non sappiamo trovare. In altre parole, sappiamo che esiste un algoritmo, ma non sappiamo (ancora) come trovarne uno.

2. Un esempio più forte, sebbene meno naturale sia essenzialmente l'utilizzo di PEM o simili assiomi non costruttivi. Questo è più forte nel senso che possiamo dimostrare l'esistenza costruttiva di un algoritmo implicherebbe un assioma non costruttivo (simile ai deboli contro-esempi di Brouwer ). Un esempio del genere è più forte perché non solo dice che non conosciamo al momento alcun algoritmo esplicito (o alcun modo algoritmico per trovarne uno), ma anche che non c'è speranza di farlo.

   Ad esempio, possiamo usare PEM per dimostrare l'esistenza di un algoritmo mentre non sappiamo quale e un modo costruttivo di trovarne uno implicherebbe un assioma non costruttivo. Lasciami fare un semplice esempio:

   L'arresto del problema è banalmente decidibile per ogni macchina di Turing fissa (ogni TM si ferma o non si ferma, e in ogni caso c'è una TM che produce la risposta giusta), ma come possiamo trovare un algoritmo che risolva il problema correttamente senza risolvere ( la versione uniforme di) il problema di arresto?

   Più formalmente, non possiamo dimostrare costruttivamente che data una TM , esiste una TM H T che decide il problema della terminazione per M . Più formalmente, la seguente affermazione non può essere dimostrata in modo costruttivo:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   Qui è la TM con il codice e (in alcune rappresentazioni fisse di TM), { e } ↓ significa { e } si ferma e { f } ↑ significa che { f } non si ferma.$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Sì.

Ad un certo punto in (1), il teorema della dicotomia dell'omomorfismo del grafico di conteggio ponderato complesso per qualsiasi dimensione di dominio finito, Cai, Chen e Lu dimostra solo l'esistenza di una riduzione del tempo polinomiale tra due problemi di conteggio tramite interpolazione polinomiale. Non conosco alcun valore pratico per un tale algoritmo.

Vedere la sezione 4 della versione di arXiv. Il lemma in questione è Lemma 4.1, chiamato "First Pinning Lemma".

Un modo per rendere costruttiva questa dimostrazione è provare la versione ponderata complessa di un risultato di Lovasz , vale a dire:

Per tutti , Z H ( G , w , i ) = Z H ( G , w , j ) se esiste un automorfismo f di G tale che f ( i ) = j .$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

Qui, è un vertice in H , i e j sono vertici in G , e Z H ( G , w , i ) è la somma su tutti homomorphisms grafico complessi-pesata da G a H con la restrizione aggiunto che i deve essere mappato a w .$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Jin-Yi Cai, Xi Chen e Pinyan Lu, Omomorfismi grafici con valori complessi: teorema di dicotomia ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

Alcuni primi risultati della fine degli anni '80:

• Fellows and Langston, " Strumenti non costruttivi per dimostrare la decidibilità del tempo polinomiale ", 1988

• Brown, Fellows, Langston, " Auto-riducibilità del tempo polinomiale: motivazioni teoriche e risultati pratici ", 1989

Dall'estratto del secondo elemento:

I recenti progressi fondamentali nella teoria dei grafi, tuttavia, hanno reso disponibili nuovi potenti strumenti non costruttivi che possono essere applicati per garantire l'appartenenza a P. Questi strumenti non sono costruttivi a due livelli distinti: non producono né l'algoritmo decisionale, stabilendo solo la finezza di un insieme di ostruzioni , né rivelano se un tale algoritmo di decisione possa essere di aiuto nella costruzione di una soluzione. Esaminiamo brevemente e illustriamo l'uso di questi strumenti e discutiamo il compito apparentemente formidabile di trovare gli algoritmi di decisione in tempo polinomiale promessi quando si applicano questi nuovi strumenti.

Un esempio di una famiglia infinita di problemi (di discutibile valore pratico) per i quali possiamo mostrare:

1. Che per ogni problema esiste un algoritmo per risolverlo.
2. Che non c'è modo di costruire questi algoritmi (in generale).

In altre parole, una prova chiaramente non costruttiva. La nostra famiglia di problemi (da questa domanda ) per ogni macchina di Turing :$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. $M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

Da "Teoria della bidimensionalità e note algoritmiche sulla teoria minore del grafico" per il tutorial di MohammadTaghi Hajiaghayi, di Mareike Massow, Jens Schmidt, Daria Schymura e Siamak Tazari.

Ogni proprietà del grafico chiuso in modo minore può essere caratterizzata da un insieme finito di minori proibiti.

Sfortunatamente, il loro risultato è "intrinsecamente" non costruttivo, cioè non esiste un algoritmo che può generalmente determinare quali minori devono essere esclusi per una determinata proprietà del grafico chiuso minore. Inoltre, il numero di minori proibiti può essere elevato: ad esempio, per i grafici incorporabili nel toro sono noti più di 30.000 minori proibiti, ma l'elenco è incompleto.

[...]

Ogni proprietà del grafico chiuso in modo minore può essere decisa in tempo polinomiale (anche in tempo cubico).

Lemma locale algoritmico di Lovász "" il lemma algoritmico locale di Lovász offre un modo algoritmico di costruire oggetti che obbediscono a un sistema di vincoli con dipendenza limitata ... Tuttavia, il lemma non è costruttivo in quanto non fornisce alcuna comprensione di come per evitare i brutti eventi ". Su alcune ipotesi / limitazioni sulla distribuzione, Moser / Tardos [1] fornisce un algoritmo costruito. il lemma locale di Lovasz sembra avere varie profonde connessioni con la teoria della complessità, ad esempio [2]

[1] Una prova costruttiva del generale Lovász Local Lemma di Moser, Tardos

[2] The Lov´asz Local Lemma and Satisfiability Gebauer, Moser, Scheder, Welzl