Ordinali di chiusura per tipi induttivi con spazi funzionali

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I portatori costruiti con prodotti finiti e somme hanno una chiusura ordinale , dettagliata in modo preciso in questo manoscritto di Francois Metayer. cioè possiamo raggiungere il tipo induttivo ripetendo il funzione , che raggiunge il suo punto fisso dopo iterazioni . $\omega$ $nat := \mu X. 1 + X$ $1 + X$ $\omega$

Ma una volta che consentiamo l'espiazione costante, come in $\mu X. 1 + X + (nat \rightarrow X)$ , allora $\omega$ non è abbastanza.

Sto cercando risultati che includano l'espiazione. Che tipo di ordinali sono sufficienti?

Particolarmente apprezzato sarebbe un riferimento che presenti una prova che tali funzioni sono continue per alcuni ordinali come nel manoscritto sopra. $\alpha$ $\alpha$

lo.logic type-theory ct.category-theory

— Andrew Cave
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La risposta alla tua domanda dipende da diverse cose, la più importante delle quali è la dimensione dei tuoi spazi funzionali . Spiegherò. Definire Come si è notato in vostra risposta, ogni può essere considerato internamente ad essere il -esimo cardinale regolare del sistema. Nella teoria degli insiemi, questo tipo di dati può essere rappresentato da un vero ordinale ed è opportunamente enorme.

O_{0} = n un' t

$O_0 = nat$

O_{n + 1} = μ X . 1 + X + (O_{n} \to X)

$O_{n+1} = \mu X.\ 1+X+(O_n\rightarrow X)$

O_{n}

$O_n$

n

$n$

Tuttavia, tali costruzioni possono essere aggiunte a qualche versione della teoria dei tipi e la domanda diventa: quale ordinale è necessario per dare un'interpretazione teorica a questo costrutto? Ora, se ci limitiamo a costruttive semantica, un'idea naturale è quello di cercare di interpretare ogni tipo dal set di "realizzatori" di questo tipo, che è un sottoinsieme del set di -Termini, o equivalentemente, i numeri naturali . $\lambda$ $\mathbb{N}$

In questo caso, è facile dimostrare che l'ordinale è numerabile per qualsiasi , ma che questo ordinale cresce molto rapidamente. Quanto velocemente? Ancora una volta, questo dipende dalla quantità di libertà che hai quando cerchi di creare funzioni. La teoria per costruire tali ordinali è descritta nella teoria dei Grandi ordinali numerabili, di cui Wikipedia ha, sorprendentemente, molto da dire. In generale è facile dimostrare che gli ordinali in questione sono più piccoli dell'ordinale Church-Kleene , a meno che non si consentano mezzi non costruttivi per la costruzione di funzioni (diciamo che calcola il numero di castori occupato per le macchine con $O_n$ $Beaver(n)$ $n$ stati).

Questo non dice molto però, tranne che in una teoria costruttiva, per costruire interpretazioni servono solo ordinali costruttivi. C'è ancora qualcosa da dire. In primo luogo, v'è una bella presentazione di Thierry Coquand che i dettagli che , in assenza di un riduttore per tutti gli altri tipi, ma $nat$ , si può costruire in esattamente punti. $O_1$ $\epsilon_0$

In generale sembra esserci una corrispondenza tra la forza logica di una teoria dei tipi e la dimensione del più grande ordinale che può rappresentare in questo modo. Questa corrispondenza è l'oggetto dell'analisi ordinale , che è stata studiata a lungo dalla fine degli anni sessanta, ed è ancora in fase di studio oggi (con alcune incredibili domande aperte). Attenzione però: l'argomento è tanto tecnico quanto affascinante.

Spero che sia di aiuto.

— cody
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Penso di aver trovato una risposta che funziona in categorie sufficientemente come Set. È il teorema 3.1.12 in Algebre iniziali e coalgebre terminali: un sondaggio di Adamek, Milius e Moss.

La risposta è che nessuno ordinale è sufficiente per tutti questi funzioni. Diventano arbitrariamente grandi.

Più precisamente, per $F(X) = C_0\times(A_0 \rightarrow X) + C_1\times(A_1 \rightarrow X)\;+\;...\;+\; C_n\times(A_n \rightarrow X)$ $A_i$ $\alpha$ $\beta < \alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

$\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

$f : A_k \rightarrow F^\alpha(0)$ $f : A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha} F^i(0)$ $A_k \rightarrow F^j(0)$ $j := \mathrm{sup}_{(a:A_k)} \text{``the i such that }f(a) \text{ fits into } F^i(0)"$ $j < \alpha$ $\alpha$ $|A_k| < \alpha$

$(A_k \rightarrow \bigcup_{i<\alpha}F^i(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha} (A_k \rightarrow F^j(0))$ $k$

$+$ $\times$ $F(F^\alpha(0)) \subseteq \bigcup_{j<\alpha}F(F^j(0)) = \bigcup_{j<\alpha}F^j(0) = F^\alpha(0)$ $\alpha$

$A_k$

— Andrew Cave
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