Cosa possiamo dimostrare con infiniti grafici che non possiamo provare senza di loro?

Questa è una domanda di follow-up a questa sui grafici infiniti.

Le risposte e i commenti a quella domanda elencano oggetti e situazioni che sono naturalmente modellati da infiniti grafici. Ma ci sono anche numerosi teoremi sui grafici infiniti (vedi capitolo 8 nel libro di Diestel) di cui, ad esempio, il lemma dell'infinito di Koenig è molto famoso.

Ora ho la seguente domanda: cosa possiamo dimostrare con infiniti grafici che non possiamo provare senza di loro? O più specificamente, qual è un esempio in cui modelliamo qualcosa come un grafico infinito, quindi invochiamo un teorema sui grafici infiniti e alla fine hanno dimostrato qualcosa sul problema originale, senza sapere come dimostrarlo altrimenti?

graph-theory co.combinatorics lo.logic

— Gregor
fonte

Questo sembra adattarsi meglio a Mathematics.SE (o, forse, a MathOverflow).

— Niel de Beaudrap,

Come suggerito da @NieldeBeaudrap, ho pubblicato la domanda su Mathematics.SE. Puoi trovarlo qui .

— Gregor,

Ecco un esempio di calcolo distribuito:

1. Contesto

1.1 Modello di memoria condivisa asincrona

Consideriamo una raccolta di nodi distribuiti che comunicano utilizzando variabili di memoria condivisa. C'è un avversario che controlla quando un nodo prende provvedimenti e quando recapitare i messaggi. Il calcolo è asincrono , ovvero l'avversario può ritardare i passaggi dei nodi per qualsiasi periodo (finito) di tempo.
Puoi considerare un passaggio di un nodo come una transizione di stato del suo automa locale (secondo l'algoritmo) in cui lo stato successivo è determinato dallo stato corrente e dalle osservazioni del nodo dall'ultimo passaggio.

1.2 Sicurezza e vitalità

Quando formalmente ragioniamo sulle proprietà di un algoritmo asincrono, distinguiamo tra proprietà di sicurezza e vitalità. Informalmente, una proprietà di sicurezza può essere interpretata come una garanzia che qualcosa di "cattivo" non accade mai. (Ad esempio, per l'esclusione reciproca, una proprietà di sicurezza sarebbe che due nodi non entrano contemporaneamente nella sezione critica.) La vivacità , d'altra parte, può essere interpretata come "alla fine accadrà qualcosa di buono", ad esempio: ogni nodo alla fine termina.

${M}$ $M$ $\alpha,\beta \in M$ $2^{-n}$ $n$ $\alpha$ $\beta$

$S$ $P\subseteq M$ $P$ $M\setminus P$

Applicando l'infinito Lemma di Koenig

Non è sempre semplice vedere se una proprietà specifica è una proprietà di sicurezza: considerare l'implementazione di oggetti atomici di lettura / scrittura sopra le variabili di memoria condivisa di base. Tale implementazione dovrebbe gestire le richieste e le loro risposte in modo da farle apparire come se accadessero in qualche istante nel tempo e non violare il loro ordine di invocazione. (A causa dell'operazione asincrona, la durata effettiva tra richiesta e risposta potrebbe essere diversa da zero.) L'atomicità è anche nota come linearità . La sezione 13.1 di [A] fornisce una prova che Atomicity è una proprietà di sicurezza. La dimostrazione usa il lemma di Koenig per dimostrare che il limite di qualsiasi sequenza infinita di esecuzioni (ognuna delle quali soddisfa Atomicity) soddisfa anche Atomicity.

[A] N. Lynch. Algoritmi distribuiti. Morgan Kaufmann, 1996.

— Peter
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Buono a saperlo Atomicity is a safety property. Esistono risultati formali simili su altre condizioni di coerenza, come la coerenza sequenziale, la coerenza causale, la coerenza della PRAM e l'eventuale coerenza in letteratura? L'articolo (sezione 2.2) afferma che la coerenza causale è una proprietà di sicurezza mentre l'eventuale coerenza è una proprietà di vivacità. Tuttavia, non sono dichiarati formalmente . Non sono sicuro che questi due termini siano usati in modo formale.

— hengxin,

Penso che la coerenza sequenziale, la coerenza causale e la coerenza della PRAM non siano proprietà di sicurezza, poiché non sono chiuse con prefisso.

— hengxin,