matrici simili


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Dati due matrici e , il problema di decidere se esiste una matrice di permutazione P tale che B = P ^ {- 1} AP è equivalente a (Isomorfismo grafico). Ma se rilassiamo P per essere solo una matrice invertibile, allora qual è la complessità? Ci sono altre restrizioni su una matrice invertibile P , oltre ad essere una permutazione, che mettono in relazione questo problema o altri problemi difficili?n×nABPB=P1APGIPPGI


Forse avrei dovuto chiedere questo prima di pubblicare una risposta, ma cosa hai provato prima di pubblicare questa domanda qui?
Tsuyoshi Ito,

@TsuyoshiIto Ho provato in wikipdia e mathworld, ho anche provato qualche query di ricerca in google, questa domanda è troppo elementare per essere posta qui? Mi interessava di più se qualche variante di questo problema potesse fornire alcuni spunti per l'IG.
DurgaDatta,

Grazie. Penso che il livello della domanda vada bene, ma mi chiedevo solo perché non hai raggiunto la mia stessa conclusione. Quello che ho fatto per scrivere la risposta è solo cercare la "somiglianza della matrice" in Wikipedia per trovare una forma normale che può essere calcolata facilmente (a differenza della forma normale della Giordania, che richiede un campo algebricamente chiuso). Penso che avresti potuto trovare le stesse informazioni se avessi guardato Wikipedia più attentamente.
Tsuyoshi Ito,

La prossima volta starò attento. Grazie.
DurgaDatta,

Risposte:


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Le matrici A e B i cui elementi sono in un campo F sono simili (in F ) se e solo se hanno la stessa forma normale di Frobenius . Secondo una rapida ricerca, sembra che la forma normale di Frobenius di una matrice n × n possa essere calcolata con le operazioni sul campo O ( n 3 ) [Sto98], e che ciò possa essere migliorato in qualcosa di paragonabile alla complessità della moltiplicazione della matrice [ Sto01].

[Sto98] Arne Storjohann. Un algoritmo O ( n 3 ) per la forma normale di Frobenius. In Atti del Simposio Internazionale del 1998 sul calcolo simbolico e algebrico (ISSAC) , pagg. 101-105, agosto 1998. DOI: 10.1145 / 281508.281570 .

[Sto01] Arne Storjohann. Calcolo deterministico della forma di Frobenius. Nel 42 ° Simposio IEEE sulle basi dell'informatica (FOCS) , pagg. 368–377, ottobre 2001. DOI: 10.1109 / SFCS.2001.959911 .


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Esistono in effetti altre restrizioni su che mettono in relazione questo problema con l'IG. Ad esempio, se si richiede che P sia un prodotto di Kronecker (tensore) P 1P 2P 3 , il problema risultante è duro quanto l'equivalenza dei tensori a 3 valenti, che è all'incirca la stessa complessità dell'equivalenza del codice lineare, che a sua volta è noto per essere GI-difficile (ma non noto per essere equivalente a GI).PPP1P2P3

Un altro punto di vista sulla tua domanda, che può far luce sulla situazione generale, è il seguente. Per ogni azione di gruppo di su un insieme X n (uno per ogni n ), ci si può chiedere della complessità di decidere se due dati punti x , y X n sono nella stessa orbita G n ; chiama questo il problema dell'orbita per quella (famiglia) di azioni. La tua domanda è quindi essenzialmente sulla complessità dei problemi dell'orbita che possono essere formulati come segue: data un'azione lineare di un gruppo G n su uno spazio vettoriale V nGnXnnx,yXnGnGnVn, si consideri il problema dell'orbita dell'azione indotta di (per coniugazione) su X n = V n( V n ) .GnXn=Vn(Vn)

Per l'isomorfismo grafico abbiamo e V n = R n con l'azione naturale mediante permutazione delle coordinate. Per la coniugazione con matrice abbiamo G n = GL n ( F ) nella sua azione naturale su V n = F n . Per l'esempio sopra abbiamo G n = GL a × GL b × GL c nella sua azione naturale su V n = F aFGn=SnVn=RnGn=GLn(F)Vn=FnGn=GLa×GLb×GLc .Vn=FaFbFc

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