matrici simili

Dati due matrici e , il problema di decidere se esiste una matrice di permutazione P tale che B = P ^ {- 1} AP è equivalente a (Isomorfismo grafico). Ma se rilassiamo P per essere solo una matrice invertibile, allora qual è la complessità? Ci sono altre restrizioni su una matrice invertibile P , oltre ad essere una permutazione, che mettono in relazione questo problema o altri problemi difficili?$n \times n$$A$$B$$P$$B = P^{-1}AP$GI$P$$P$GI

Le matrici A e B i cui elementi sono in un campo F sono simili (in F ) se e solo se hanno la stessa forma normale di Frobenius . Secondo una rapida ricerca, sembra che la forma normale di Frobenius di una matrice n × n possa essere calcolata con le operazioni sul campo O ( n ³ ) [Sto98], e che ciò possa essere migliorato in qualcosa di paragonabile alla complessità della moltiplicazione della matrice [ Sto01].

[Sto98] Arne Storjohann. Un algoritmo O ( n ³ ) per la forma normale di Frobenius. In Atti del Simposio Internazionale del 1998 sul calcolo simbolico e algebrico (ISSAC) , pagg. 101-105, agosto 1998. DOI: 10.1145 / 281508.281570 .

[Sto01] Arne Storjohann. Calcolo deterministico della forma di Frobenius. Nel 42 ° Simposio IEEE sulle basi dell'informatica (FOCS) , pagg. 368–377, ottobre 2001. DOI: 10.1109 / SFCS.2001.959911 .

Esistono in effetti altre restrizioni su che mettono in relazione questo problema con l'IG. Ad esempio, se si richiede che P sia un prodotto di Kronecker (tensore) P 1 ⊗ P 2 ⊗ P 3 , il problema risultante è duro quanto l'equivalenza dei tensori a 3 valenti, che è all'incirca la stessa complessità dell'equivalenza del codice lineare, che a sua volta è noto per essere GI-difficile (ma non noto per essere equivalente a GI).$P$$P$$P_1 \otimes P_2 \otimes P_3$

Un altro punto di vista sulla tua domanda, che può far luce sulla situazione generale, è il seguente. Per ogni azione di gruppo di su un insieme X n (uno per ogni n ), ci si può chiedere della complessità di decidere se due dati punti x , y ∈ X n sono nella stessa orbita G n ; chiama questo il problema dell'orbita per quella (famiglia) di azioni. La tua domanda è quindi essenzialmente sulla complessità dei problemi dell'orbita che possono essere formulati come segue: data un'azione lineare di un gruppo G n su uno spazio vettoriale V $G_n$$X_n$$n$$x,y \in X_n$$G_n$$G_n$$V_n$, si consideri il problema dell'orbita dell'azione indotta di (per coniugazione) su X n = V n ⊗ ( V n ) ∗ .$G_n$$X_n = V_n \otimes (V_n)^*$

Per l'isomorfismo grafico abbiamo e V n = R n con l'azione naturale mediante permutazione delle coordinate. Per la coniugazione con matrice abbiamo G n = GL n ( F ) nella sua azione naturale su V n = F n . Per l'esempio sopra abbiamo G n = GL a × GL b × GL c nella sua azione naturale su V n = F a ⊗ $G_n = S_n$$V_n = \mathbb{R}^n$$G_n = \text{GL}_n(\mathbb{F})$$V_n = \mathbb{F}^n$$G_n = \text{GL}_a \times \text{GL}_b \times \text{GL}_c$ .$V_n = \mathbb{F}^{a} \otimes \mathbb{F}^b \otimes \mathbb{F}^c$