Conseguenze dei limiti inferiori per

Molti qui sono probabilmente a conoscenza dei recenti limiti inferiori superlineari di Alon per le reti in un ambiente geometrico naturale [PDF] . Vorrei sapere che cosa, se non altro, un limite così basso implica l'approssimabilità dei problemi associati alla copertura del set / colpire il set. $\epsilon$

Per essere leggermente più specifici, considera una famiglia di spazi di portata, ad esempio la famiglia:

:è un set di punti planari finiti,contiene tutte le intersezioni dicon linee$\big\{(X,\mathcal{R})$R X $X$$\mathcal{R}$$X$$\big\}$

Se, per alcune funzioni che sono lineari o super-lineari, la famiglia contiene uno spazio che non ammette -nets di dimensione , cosa implica, se non altro, il colpimento minimo Impostare un problema limitato a questa famiglia di spazi di portata?ϵ f ( 1 / ϵ $f$$\epsilon$$f(1/\epsilon)$

Se uno spazio gamma ha -net di dimensione f ( 1 / ε ) , allora il divario integrità del set colpire frazionata (o coperchio set) è f ( 1 / ε ) / ( 1 / ε ) . Guarda il lavoro di Philip Long ( qui [The Even etal. Work è più tardi di questo lavoro e riscopri alcune delle sue cose]). Vedi anche le diapositive 13-16 qui .$\epsilon$$f(1/\epsilon)$$f(1/\epsilon)/(1/\epsilon)$

In breve, avente non lineare -nets, indica che approssima il relativo colpire-set / set problema della copertura all'interno meglio di un fattore costante sarà molto impegnativo.$\epsilon$

Non sono sicuro che implichi qualcosa. I principali risultati scorrono nella direzione opposta, cioè dalle costruzioni Bronnimann / Goodrich o Even / Rawitz / Shahar , una rete di dimensioni lineari implica un'approssimazione di fattore costante per il set di colpire (per dimensione VC limitata),