Ordine topologico positivo, prendere 2

Questo è un seguito alla recente domanda di David Eppstein ed è motivato dagli stessi problemi.

Supponiamo che io abbia una dag con pesi in numero reale sui suoi vertici. Inizialmente, tutti i vertici non sono contrassegnati. Posso modificare l'insieme dei vertici contrassegnati da (1) contrassegnando un vertice senza predecessori non contrassegnati o (2) deselezionando un vertice senza successori contrassegnati. (Pertanto, l'insieme dei vertici contrassegnati è sempre un prefisso dell'ordine parziale.) Voglio trovare una sequenza di operazioni di marcatura / non marcatura che termina con tutti i vertici contrassegnati, in modo tale che il peso totale dei vertici contrassegnati sia sempre non negativo .

• Quanto è difficile trovare una tale sequenza di operazioni? A differenza del problema di David , non è nemmeno chiaro che questo problema sia in NP; in linea di principio (anche se non ho alcun esempio) ogni sequenza di mosse legali potrebbe avere una lunghezza esponenziale. Il meglio che posso dimostrare è che il problema è in PSPACE.

• L'operazione di non marcatura è effettivamente superflua? Se esiste una sequenza di mosse valida, deve esserci una sequenza di mosse valida che non contrassegna mai un vertice? Una risposta affermativa renderebbe questo problema identico a quello di David . D'altra parte, se a volte è necessario annullare la marcatura, dovrebbe esserci un piccolo esempio (a dimensione costante) che lo dimostra.

Durante il nostro seminario di ricerca 666 regolare abbiamo fornito la seguente prova.

Iniziamo con alcune definizioni. Lascia che P sia il nostro poset. Per semplicità, supponiamo che nessuno dei pesi si sommi fino a zero. Indica il peso di un vertice di w (x) e la somma dei pesi di un insieme di w (X). Diciamo che un set X è Y-up (chiuso) se è contenuto in Y e ogni elemento di Y che è più grande di un elemento di X è anche in X. Allo stesso modo, diciamo che un set X è Y-down se è contenuto in Y e ogni elemento di Y che è più piccolo di un elemento di X è anche in X. In questa lingua l'insieme di elementi contrassegnati deve essere sempre P-down.

Lo dimostriamo per contraddizione. Prendi la sequenza di marcatura / deselezione più breve che contrassegna ogni elemento. Chiamiamo tali sequenze complete. In qualsiasi momento, considera l'insieme di elementi che erano stati contrassegnati in precedenza ma che ora non sono contrassegnati. Indica questo set di U.

Reclamo: w (U)> 0.

Dimostrazione: dimostriamo che il peso di qualsiasi set U-up, X, è positivo. La prova è per induzione sulla dimensione di X. Se esiste un set X-down, Y, tale che w (Y)> 0, allora poiché per induzione sappiamo che w (X \ Y)> 0 (poiché è X-up), abbiamo anche w (X)> 0. Se per ogni set di X-down, Y, abbiamo w (Y) <0, quindi eliminando fino a questo punto tutti i segni e gli segni degli elementi di X dalla nostra sequenza, otteniamo una sequenza completa più breve. Abbiamo finito con la prova del reclamo.

Supponiamo ora di avere una sequenza completa in cui w (U)> 0 in qualsiasi punto per l'insieme U di elementi attualmente non contrassegnati. Prendi la sequenza che ne otteniamo prendendo la prima marcatura di ogni elemento e non deselezionando mai nulla. È chiaro che questa sarà anche una sequenza completa soddisfacente che l'insieme di elementi contrassegnati sia sempre P-down. Inoltre, la somma dei pesi sarà sempre almeno uguale a quella della sequenza originale poiché in qualsiasi momento la differenza è w (U). Abbiamo chiuso.

Con questo metodo si può persino dimostrare che se invece di contrassegnare l'intera P, vogliamo solo contrassegnare un sottoinsieme di P, allora può essere fatto con una sequenza di marcature seguita da una sequenza di non marcature. La prova è la stessa eccetto che alla fine alcuni elementi, U, rimangono senza segno ma questi possono essere spostati alla fine della sequenza poiché il peso di qualsiasi set di U-up è positivo.