Intuizione dietro i sistemi di prova

Sto cercando di capire l'articolo su p-Optimal Proof Systems e Logic per PTIME . C'è una nozione chiamata sistemi di prova nel documento e non capisco l'intenzione:

$\Sigma = \{0,1\}$ ... Identifichiamo i problemi con sottoinsiemi di in .$Q$$\Sigma^*$

Penso che l'intenzione sia quella di codificare una certa struttura in (ad esempio grafici non indirizzati) e sottoinsiemi di queste strutture sono problemi (ad esempio grafici planari).$\Sigma^*$

Un sistema di prova per un problema è una funzione suriettiva da calcolabile in tempo polinomiale.$Q \subset \Sigma^*$$P:\Sigma^* \to Q$

Ora una possibilità è quella di dire che è l'insieme di tutti i possibili modelli in una certa struttura (ad esempio tutti i grafici non indirizzati). Ma ciò non ha senso perché perché i grafici non indirizzati dovrebbero essere mappati su un sottoinsieme? Potrebbe essere codificato macchine per turing, ma neanche questo ha senso ...$\Sigma^*$

Qualche idea?

Pensa a codifica una sorta di oggetto e come l'insieme di tutti gli oggetti che soddisfano alcune proprietà. Pensare come una funzione che accetta (la codifica di) una coppia dove è un oggetto e sia sospettato "prova" del . La funzione è un "checker prova": verifica che in realtà rappresenta la prova valida che . Se è così, restituisce , altrimenti restituisce un elemento di default di . Q P ( x , p ) x p x ∈ Q P p x ∈ Q x $\Sigma^{*}$$Q$$P$$(x, p)$$x$$p$$x \in Q$$P$$p$$x \in Q$$x$$Q$

Ad esempio, supponiamo che codifichi i grafici e lasci che sia l'insieme (di codifiche) dei grafici hamiltoniani. Una possibile è questa: decodifica l'input come dove è un grafico e è un elenco di vertici di ; verifica che sia un ciclo hamiltoniano in ; in tal caso, quindi restituire altrimenti restituire il grafico su un punto. Q P ( G , ℓ ) G ℓ G ℓ G $\Sigma^{*}$$Q$$P$$(G, \ell)$$G$$\ell$$G$$\ell$$G$$G$

Hai considerato il caso dei grafici planari. Per ottenere una adeguata abbiamo bisogno di una nozione di prova controllabile poli-tempo di planarità.$P$

In generale, l'ingresso in non deve necessariamente codificare una coppia . La cosa importante è che può estrarre due informazioni dal suo ingresso: l'oggetto in questione e la presunta prova che l'oggetto appartiene a . Ad esempio, prendiamo come l'insieme di tutte le frasi dimostrabili in una teoria del primo ordine. Ora decodifica il suo input come una prova formale. Se la codifica non è valida, restituisce . Se la codifica rappresenta una prova valida, restituisce l'affermazione che è stata dimostrata dalla prova (che è probabilmente la radice dell'albero delle prove o l'ultima formula in una sequenza di dichiarazioni, a seconda di come formalizzare le prove).( x , p ) P Q Q P $P$$(x, p)$$P$$Q$$Q$$P$$\top$

Si dovrebbe pensare di ingresso del sistema a prova come il testo di una prova π di un elemento q ∈ Q . Se il testo è valido che P ( π ) = q , altrimenti P ( π ) è una certa fisso q 0 ∈ Q . Vogliamo P come polytime poiché ciò significa che la prova è facile da verificare.$P$$\pi$$q \in Q$$P(\pi) = q$$P(\pi)$$q_0 \in Q$$P$

Ad esempio, supponiamo che sia l'insieme delle tautologie proposizionali e P sia qualsiasi sistema di prova di tipo Hilbert, che consiste in un insieme di linee , ognuna delle quali è un assioma o segue da linee precedenti tramite una regola di derivazione (di solito Modus ponens). Se la dimostrazione è valida, quella P dovrebbe generare l'ultima riga nella dimostrazione. Altrimenti, genera una tautologia fissa come p ∨ ¬ p .$Q$$P$$P$$p \lor \lnot p$

Tornando alla tua prima domanda, è una codifica di tutte le strutture di un certo tipo che soddisfano alcune proprietà. Un esempio sono le tautologie. Un altro esempio è l'insieme di tutti i grafici non 3-colorabili, che hanno un sistema di prova noto come il calcolo di Hajós.$Q$