Ragioni per cui un grafico potrebbe non essere

Pur ragionando un po 'su questa domanda , ho cercato di identificare tutte le diverse ragioni per le quali un grafico $G = (V_G,E_G)$ potrebbe non essere $k$ colorabile. Questi sono gli unici 2 motivi che sono stato in grado di identificare finora:

1. $G$ contiene una cricca di dimensioni$k+1$ . Questa è la ragione ovvia.

2. Esiste un sottografo $H = (V_H, E_H)$ di $G$ tale che entrambe le seguenti affermazioni sono vere:

   • $H$ non è$k-1$ colorabile.
   • . In altre parole non esiste un nodo x in G , ma non in H , tale cheè collegato a ciascun nodo.$\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$$x$$G$$H$$x$$H$

Possiamo vedere le 2 ragioni sopra come regole. Applicandoli in modo ricorsivo, gli unici 2 modi per costruire un grafico non colorabile che non contiene una cricca sono:k + $k$$k+1$

1. Inizia da un ciclo di lunghezza pari (che è colorabile), quindi applica la regola 2 per volte. Si noti che un bordo non è considerato un ciclo di lunghezza (altrimenti questo processo avrebbe l'effetto di costruire una cricca ).k - 1 2 k + $2$$k-1$$2$$k+1$
2. Inizia da un ciclo di lunghezza dispari (che è colorabile), quindi applica la regola 2 per volte. La lunghezza del ciclo iniziale deve essere maggiore di (altrimenti questo processo avrebbe l'effetto di costruire una cricca ).k - 2 3 k + $3$$k-2$$3$$k+1$

Domanda

C'è qualche ulteriore motivo, oltre a quelli sopra 2, che rende un grafico non colorabile?$k$

$\ $
Aggiornamento 30/11/2012

Più precisamente, ciò di cui ho bisogno è un teorema del modulo:

Un grafico ha un numero cromatico se e solo se ...χ ( G ) = k + $G$$\chi(G) = k + 1$

Il calcolo di Hajós , sottolineato da Yuval Filmus nella sua risposta, è un perfetto esempio di ciò che sto cercando, poiché un grafico ha un numero cromatico se e solo se può essere derivato dall'assioma applicando ripetutamente le 2 regole di inferenza del calcolo. Il numero di Hajós è quindi il numero minimo di passaggi necessari per derivare (ovvero è la lunghezza della prova più breve).χ ( G ) = k + 1 K k + 1 h ( G ) $G$$\chi(G) = k + 1$$K_{k+1}$$h(G)$$G$

È molto interessante che:

• La domanda se esiste un grafico cui h ( G ) è esponenziale nella dimensione di G è ancora aperta.$G$$h(G)$$G$
• Se tale non esiste, allora N p = c o N P .$G$$NP = coNP$

Dovresti controllare il calcolo di Hajós . Hajós ha mostrato che ogni grafico con numero cromatico almeno ha un sottografo che ha una "ragione" per richiedere k colori. Il motivo in questione è un sistema di prova che richiede k colori. L'unico assioma è K k e ci sono due regole di inferenza. Vedi anche questo articolo di Pitassi e Urquhart sull'efficienza di questo sistema di prova.$k$$k$$k$$K_k$

Una risposta parziale, in quanto non conosco una bella "ragione" che può essere generalizzata, ma il seguente grafico (spudorato nichelato da qui ):

Non è a 3 colori, ma è ovviamente a 4 colori (essendo planare) e non contiene , né alcun ciclo con un vertice aggiuntivo collegato a tutti i vertici del ciclo (a meno che non manchi qualcosa, ma gli unici vertici collegato a un vertice e il suo vicino sono nei 3 cicli). Prendendolo ulteriormente, è possibile applicare una versione della regola 2 per ottenere un grafico del numero cromatico 5.$K_{4}$

Sospetterei che per ogni dato genere, c'è un grafico di un certo numero cromatico minimo (vedi la congettura di Heawood ) che non segue le regole 1 o 2. Naturalmente non ho prove diverse dall'intuizione.

Lovasz ha trovato ostacoli topologici per la colorabilità k e ha usato la sua teoria per risolvere la congettura di Knaser. Il suo teorema è il seguente. Sia G un grafico collegato e N (G) sia un complesso simpliciale le cui facce sono sottoinsiemi di V che hanno vicini vicini. Quindi se N (K) è k-connesso (vale a dire, tutti i suoi gruppi di omologia ridotta sono 0 fino alla dimensione k-1) allora il numero di colori necessari per colorare G è almeno k + 3.

Non avere un grande set indipendente può essere importante quanto avere una grande cricca.

Un ostacolo importante affinché un grafico non sia colorabile a k è che la dimensione massima di un insieme indipendente è inferiore a n / k, dove n è il numero di vertici. Questa è un'ostruzione molto importante. Ad esempio, implica che un grafico casuale in G (n, 1/2) abbia un numero cromatico almeno n / log n.

Un'ostruzione più raffinata è che per ogni assegnazione di pesi non negativi per i vertici non esiste un set indipendente che catturi una frazione 1/5 (o più) del peso totale. Si noti che ciò include anche "nessun ostacolo alla cricca". La dualità LP ti dice che questo ostacolo è equivalente al fatto che il "numero cromatico frazionario" di G è maggiore di k.

Ci sono anche ostacoli per la colorabilità k di natura diversa che a volte vanno oltre la barriera numerica cromatica frazionaria. Dedicherò loro una risposta separata.

$G$$\chi(G)=k+1$

$G$$\chi(G)\ge k$$G$$k-1$