Come viene definita la dualità dei tipi?

Nei tipi ricorsivi di Wadler gratis! [1], ha dimostrato due tipi, e ∃ X . ( X → F ( X ) ) × X e ha affermato che sono doppie . In particolare, ha sottolineato che il tipo ∃ X . X → ( X → F ( X ) ) non lo è$\forall X . (F(X) \rightarrow X) \rightarrow X$$\exists X . (X \rightarrow F(X)) \times X$$\exists X . X \rightarrow (X \rightarrow F(X))$il doppio del primo. Sembra che la dualità in questione qui sia diversa dalla dualità di De Morgan nella logica. Mi chiedo come sia definita la dualità dei tipi, specificatamente per i tre tipi citati, perché il secondo è doppio del primo mentre il terzo no. Grazie.

[1] http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt

In questo contesto, la dualità si riferisce al prendere il punto minimo fisso in un caso e il massimo punto fisso nell'altro. Dobbiamo cercare di capire in che senso e G = ∃ X . ( X → F ( X ) ) × X sono i "meno" e "più grandi" soluzioni dell'equazione ricorsiva F ( X ) ≅ X .$L = \forall X . (F(X) \to X) \to X$$G = \exists X . (X \to F(X)) \times X$$F(X) \cong X$

Prima di tutto, e G sono effettivamente punti fissi (in base a determinati presupposti tecnici che limitano la natura di F ) perché le mappe di confronto v : F ( L ) → L e w : G → F ( G ) fornite da $L$$G$$F$$v : F(L) \to L$$w : G \to F(G)$ e w ( X , ( f , x ) ) = F ( λ y :

$$v \, x \, X \, g = g \, (F (\lambda h : L \,.\, h \,X\, g)\, x)$$ sono isomorfismi. Si noti che abbiamo usato il fatto che F è un funzione, ovvero è monotono, quando l'abbiamo applicato alle funzioni. $$w (X, (f, x)) = F (\lambda y : X \,.\, (X, (f, y))) \, (f x)$$ $F$

Supponiamo che è un qualsiasi soluzione di F ( Y ) ≅ Y con un isomorfismo mediazione u : F ( Y ) → Y . Quindi abbiamo mappe canoniche α : L → Y  e  β : Y → G definite da $Y$$F(Y) \cong Y$$u : F(Y) \to Y$

$$\alpha : L \to Y \text{ and } \beta : Y\to G$$ e $$\alpha \, f = f\, Y\, u$$ Pertanto, L è ilminimoperché possiamo mappare da esso a qualsiasi altra soluzione e G èmaggioreperché possiamo mappare da qualsiasi altra soluzione ad esso. Potremmo rendere tutto ciò più preciso parlando di algebre iniziali e di coalgebre finali, ma voglio che la mia risposta sia breve e dolce, e il codice ha comunque spiegato le algebre. $$\beta \, y = (Y, (u^{-1}, y)).$$ $L$$G$

$F(X) = 1 + A \times X$$A$$A$

$I$$\cal C$$F:{\cal C}\rightarrow{\cal C}$$F$

• $A$$\cal C$ $$\alpha:F(A)\rightarrow A$$

• come frecce: quadrati

  

$I$$F$$I$

1. $in:F(I) \rightarrow I$
2. $F$$(A,\alpha)$$fold: I\rightarrow A$

$I=\forall X.(F(X)\rightarrow X)\rightarrow X$$fold$

$$fold=\lambda i:I. i\ A\ \alpha : I\rightarrow A$$ $in$$F$, che può essere visto come un requisito di positività.

$F$$F$

• $Z$$\cal C$ $$\omega: Z\rightarrow F(Z)$$
• $F$$\alpha$$\beta$

$T$

1. $out:T\rightarrow F(T)$
2. $F$$Z$$cofold: Z\rightarrow T$

$T=\exists X.(X\rightarrow F(X))\times X$

$$cofold = \lambda z:Z.(Z,\omega,z) : Z\rightarrow T$$ $T=\exists X.X\rightarrow (X\rightarrow F(X))$

$\lambda$$\pi$

Quando traduci (decomponi) i tipi in calcolo del processo, la dualità diventa semplice: l' input è doppio all'output e viceversa . Non c'è (molto) di più nella dualità.

$\pi$$\alpha = (Bool, Int)^{\uparrow}$$\alpha$$\alpha$$x$$\overline{x}\langle false,7\rangle$$\overline{\alpha}$$(v, w)$$v$$w$$\overline{\alpha}$$(bool,int)^{\downarrow}$$\overline{\alpha}$$x$$c(v,w).0$

$\beta = (int, (int)^{\uparrow})^{\downarrow}$$(v, w)$$v$$w$$\overline{\beta} =(int, (int)^{\downarrow})^{\uparrow}$$\alpha$$\overline{\alpha}$$P$$\alpha$$x$$Q$$\overline{\alpha}$$x$$P$$Q$$\beta$$\overline{\beta}$

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$$(v, w)$$v$$X$$w$$X$$x$

$$x(vw).\overline{w}v$$ $\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$

Cosa significa la quantificazione universale a livello di processo? C'è un'interpretazione semplice: se i dati sono digitati da una variabile di tipo, non possono essere usati come oggetto di un output, ma solo un oggetto. Quindi non possiamo ispezionare questi dati, possiamo solo trasmetterli o dimenticarli.

$\forall X.(X,(X)^{\uparrow})^{\downarrow}$$\exists X.(X,(X)^{\downarrow})^{\uparrow}$

La teoria di questo è stata elaborata in dettaglio in [1, 2, 3] e in alcuni altri, più difficili da accedere al lavoro, e collegati in modo molto preciso alla logica lineare polarizzata e alla sua nozione di dualità in 4 .

$\lambda$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\pi$$\lambda$

$\pi$

$\pi$

$\pi$

4 K. Honda et al., Una corrispondenza esatta tra un pi-calculus tipizzato e reti di prova polarizzate .

5 R. Milner, funziona come un processo .