Le reti di prova sono interessanti essenzialmente per tre motivi:
1) IDENTITÀ DELLE PROVE. Forniscono una risposta al problema "quando due prove sono uguali"? Nel calcolo sequenziale potresti avere molte prove diverse della stessa proposizione che differiscono solo perché il calcolo sequenziale forza un ordine tra le regole di detrazione anche quando non è necessario. Naturalmente, si può aggiungere una relazione di equivalenza su prove di calcolo sequenziali, ma poi si deve dimostrare che l'eliminazione del taglio si comporta correttamente sulle classi di equivalenza, ed è anche necessario passare alla riscrittura del modulo, che è molto più tecnico della semplice riscrittura. Le reti di prova risolvono il problema della gestione delle classi di equivalenza fornendo una sintassi in cui ogni classe di equivalenza è compressa su un singolo oggetto. Questa situazione è comunque un po 'idealistica, poiché per molte ragioni le reti di prova sono spesso estese con una qualche forma di equivalenza.
2) NESSUN PASSO COMMUTATIVO DI ELIMINAZIONE DEL TAGLIO. L'eliminazione del taglio sulle reti di prova ha un sapore molto diverso rispetto ai calcoli sequenziali perché scompaiono i passaggi commutativi di eliminazione del taglio. Il motivo è che nelle reti di prova le regole di detrazione sono collegate solo dalla loro relazione causale. I casi commutativi sono generati dal fatto che una regola può essere nascosta da un'altra regola causalmente non correlata. Questo non può accadere nelle reti di prova, dove le regole causalmente non correlate sono molto distanti. Poiché la maggior parte dei casi di eliminazione del taglio è commutativa, si ottiene una sorprendente semplificazione dell'eliminazione del taglio. Ciò è stato particolarmente utile per studiare i calcoli lambda con sostituzioni esplicite (perché esponenziali = sostituzioni esplicite). Ancora una volta, questa situazione è idealizzata poiché alcune presentazioni di reti di prova richiedono passaggi commutativi. Tuttavia,
3) CRITERI DI CORRETTEZZA. Le reti di prova possono essere definite mediante la traduzione di prove di calcolo sequenziali, ma di solito un sistema di reti di prova non è accettato come tale a meno che non sia dotato di un criterio di correttezza, vale a dire un insieme di principi teorico-grafici che caratterizzano l'insieme di grafici ottenuti traducendo un prova di calcolo sequenziale. La ragione per richiedere un criterio di correttezza è che il linguaggio grafico libero generato dall'insieme di costruttori di reti di prova (chiamati collegamenti) contiene "troppi grafici", nel senso che alcuni grafici non corrispondono a nessuna prova. La pertinenza dell'approccio ai criteri di correttezza è di solito completamente fraintesa. È importante perché fornisce definizioni non induttive di ciò che è una prova, fornendo prospettive sorprendentemente diverse sulla natura delle detrazioni. Il fatto che la caratterizzazione sia non induttiva è di solito criticato, mentre è esattamente ciò che è interessante. Certo, non è facilmente suscettibile alla formalizzazione, ma, di nuovo, questa è la sua forza: le reti di prova forniscono approfondimenti che non sono disponibili attraverso la solita prospettiva induttiva su prove e termini. Un teorema fondamentale per le reti di prova è il teorema di sequenzializzazione, che afferma che qualsiasi grafico che soddisfi il criterio di correttezza può essere scomposto induttivamente come prova di calcolo sequenziale (traducendo nuovamente nel grafico corretto).
Consentitemi di concludere che non è preciso affermare che le reti di prova sono una versione classica e lineare della deduzione naturale. Il punto è che risolvono (o tentano di risolvere) il problema dell'identità delle prove e che la deduzione naturale risolve con successo lo stesso problema per una logica intuizionistica minima. Ma le reti di prova possono essere fatte anche per sistemi intuitivi e per sistemi non lineari. In realtà, funzionano meglio per i sistemi intuitivi che per i sistemi classici.