La risoluzione proposizionale è un sistema di prova completo?

Questa domanda riguarda la logica proposizionale e tutte le occorrenze di "risoluzione" devono essere lette come "risoluzione proposizionale".

Questa domanda è qualcosa di estremamente semplice, ma mi ha infastidito per un po '. Vedo che le persone affermano che la risoluzione proposizionale è completa ma vedo anche che le persone affermano che la risoluzione è incompleta. Comprendo il senso in cui la risoluzione è incompleta. Vedo anche perché le persone potrebbero affermare che è completo ma la parola "completo" differisce dal modo in cui "completo" viene utilizzato quando si descrive la deduzione naturale o il calcolo sequenziale. Anche il qualificatore "confutazione completa" non aiuta perché le formule devono essere in CNF e la trasformazione di una formula in una formula CNF equivalente o formula CNF equi soddisfacente attraverso la trasformazione della Tseitin non è presa in considerazione nel sistema di prova.

Solidità e completezza

Supponiamo che l'impostazione della logica proposizionale classica abbia una relazione tra un qualche universo di strutture e un insieme di formule e la classica nozione tararsica di verità in una struttura. Scriviamo se è vero in tutte le strutture considerate. anche un sistema per derivare le formule dalle formule. $\models$ $\models \varphi$ $\varphi$ $\vdash$

Il sistema è valido rispetto a se ogni volta che abbiamo , abbiamo anche . Il sistema è completo rispetto a se ogni volta che abbiamo , abbiamo anche . $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ $\vdash \varphi$

La regola di risoluzione

Un letterale è una proposizione atomica o la sua negazione. Una clausola è una disgiunzione di letterali. Una formula in CNF è una congiunzione di clausole. La regola di risoluzione afferma che

La regola di risoluzione afferma che se la congiunzione della clausola con la clausola è soddisfacente, anche la clausola deve essere soddisfacente. $C \lor p$ $\neg p \lor D$ $C \lor D$

Non sono sicuro che la sola regola di risoluzione possa essere intesa come un sistema di prova perché non ci sono regole per l'introduzione di formule. Presumo che abbiamo almeno bisogno di una regola di ipotesi che consenta l'introduzione di clausole.

Incompletezza della risoluzione

È noto che la risoluzione è un sistema di insonorizzazione. Significato, se possiamo derivare una clausola da una formula usando la risoluzione, allora $C$ $F$ . La risoluzione è ancheconfutazionesignificatocompletose abbiamo $\models F \implies C$ allora possiamo derivare da usando la risoluzione. $\models F \implies \bot$ $\bot$ $F$

Considera il formule

e . $\varphi := p \land q$ $\psi := p \lor q$

Nel sistema LK di Gentzen o usando la deduzione naturale, posso derivarne l'implicazione interamente all'interno del sistema di prova. Non posso derivare questa implicazione usando la risoluzione perché se inizio con , non ci sono risolutori. $\varphi \implies \psi$ $\varphi$

Vedo come posso dimostrare la validità di questa implicazione usando la risoluzione:

Considera la formula $\neg (\varphi \implies \psi)$
Trasforma la formula sopra in CNF usando le regole di distribuzione standard o usando la trasformazione Tseitin
Deriva dalla formula trasformata usando la risoluzione. $\bot$

Questo approccio non mi soddisfa perché mi richiede di eseguire i passaggi (1) e (2) che sono al di fuori del sistema di prova della risoluzione. Quindi sembra che ci sia un senso molto chiaro in cui la risoluzione non è completa nel modo in cui diciamo che la deduzione naturale o i calcoli sequenziali sono completi.

Domande

Alla luce di quanto sopra, le mie domande sono:

Quale sistema di prova viene preso in considerazione quando si discute di risoluzione? È solo la regola di risoluzione? Quali sono le altre regole?
Mi sembra molto chiaro che la risoluzione non è completa, nel senso che la deduzione naturale e i calcoli sequenziali sono completi. La letteratura afferma che la risoluzione è una terminologia di abuso completa solo perché il senso in cui la risoluzione è completa è più interessante del senso in cui è incompleta?
Questa differenza tra le nozioni di completezza applicate alla risoluzione e altrove e come riconciliarle è stata discussa più approfonditamente nella letteratura?
Mi rendo anche conto che la risoluzione può essere formulata all'interno di calcoli sequenziali in termini di regola di taglio. La "giusta" visione teorica della prova è solo che si tratta di un frammento del calcolo sequenziale che è sufficiente per verificare la soddisfacibilità delle formule nel CNF?

— Vijay D
fonte

(1) Formule CNF con la sola risoluzione (o, se si esegue QBF, quindi formule QCNF con risoluzione e riduzione generale); (2) Sì, la confutazione è completa e ha ancora un significato leggermente diverso, vale a dire se

quindi

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— Radu GRIGore,

domanda approssimativamente simile qui. grazie per la pubblicazione. fondamentalmente, iiuc / afaik, la risoluzione viene utilizzata per sistemi molto più della logica del 1 ° ordine, ma nella logica del 1 ° ordine è "sana / completa", sebbene ciò non sia sempre molto ben descritto, poiché viene spesso utilizzata solo per prove di confutazione. nei sistemi "più grandi", in cui i termini non sono semplicemente variabili booleane ma, ad esempio, qualificatori esistenziali, ecc., non è completo. il campo della logica non uniforma troppo bene le sue definizioni di terminologia, c'è un sacco di "sovraccarico" di termini, ecc ....

— vzn

Ecco perché alcune persone affermano che è " refutazionalmente completo", ad esempio L. Bachmair e H. Ganzinger, "Dimostrazione del teorema della risoluzione", Manuale di ragionamento automatico, vol. 1, pagg. 19–99, 2001.

— Trylks

La domanda discute della completezza confutazionale.

— Vijay D,

Risposte:

Quale sistema di prova viene preso in considerazione quando si discute di risoluzione? È solo la regola di risoluzione? Quali sono le altre regole?

Discuto la risoluzione nel contesto di "clausole", che sono sequenze costituite solo da letterali . Una clausola classica sembrerebbe Ma possiamo anche scrivere come

{UN}_{1}, ..., {UN}_{n} \to B_{1}, ..., B_{m}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

lavorare con solo sequenze unilaterali. È convenzionale trattare questi sequenze unilaterali comemultisetdi letterali.

\to {\bar{UN}}_{1}, ..., {\bar{UN}}_{n}, B_{1}, ..., B_{m}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$

LK limitato alle clausole ha solo quattro regole di inferenza:

identità
taglio (risoluzione proposizionale)
contrazione (factoring proposizionale)
indebolimento

È ovvio che queste quattro regole sono complete per la deduzione delle clausole, ovvero

Proposizione 1 Per qualsiasi clausola di e serie di clausole , abbiamo se e solo se . $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \vdash C$

Confutazione prova convertiti il problema della a , dove è l'insieme di clausole che rappresentano la negazione della . ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ $C$

È chiaro che se e solo se . Il nostro sistema a quattro regole è ancora adeguato per dimostrare il problema convertito, ma notiamo che non abbiamo più bisogno di identità e indebolimento. Le restanti due regole sono chiamate "procedura di prova della risoluzione". ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Proposizione 2 Per qualsiasi clausola e insieme di clausole , abbiamo se e solo se usando solo il taglio e la contrazione. $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Il punto di convertire il problema in prove di confutazione è duplice:

Abbiamo un'opportunità migliore per guidare la ricerca di prove lasciando che guidi. $N(C)$
Abbiamo una gestione della logica dei predicati completa, le cui formule possono essere trasformate in CNF in modo soddisfacente.

La "giusta" visione teorica della prova è solo che si tratta di un frammento del calcolo sequenziale che è sufficiente per verificare la soddisfacibilità delle formule nel CNF?

Infatti!

— Uday Reddy
fonte

Grazie Uday. Una domanda: la regola di taglio mantiene comunque le clausole della formula originale rotonda nel conseguente. Nella risoluzione, questi sono "ottimizzati" via con una sola clausola nel conseguente. Concorderesti che quella risoluzione è una regola minima o locale a causa di tutte le clausole che non compaiono nella regola?

— Vijay D,

@VijayD. Stiamo usando esattamente la regola del taglio, ma in modo diverso da Gentzen. Gentzen prove sarebbero della forma

, dove non ci sono "assiomi", mentre in risoluzione stiamo producendo prove con assiomi

. Potresti dare un'occhiata a questo documentoClausal Completion.

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$

— Uday Reddy,

potresti anche aggiungere alla tua risposta quella che pensi sia una descrizione accurata di una frase della completezza della risoluzione?

— Vijay D,

@VijayD. Nella mia risposta originale c'erano due affermazioni "se e solo se", che erano le due proprietà di completezza. Per chiarezza, li ho considerati come Proposte per te. (Non sono ancora sicuro di dove risieda la tua confusione. Forse ha a che fare con quale lingua stiamo lavorando, come ha sottinteso Kaveh?)

— Uday Reddy,

@VijayD. Non credo che si possa dire che la risoluzione sia "incompleta". Tutto quello che hai detto nella tua domanda originale era che le trasformazioni necessarie per mettere le formule proposizionali in forma clausale sono "insoddisfacenti" per te. Ciò non significa che siano "incompleti".

— Uday Reddy,

1)

L'unica regola non strutturale è la risoluzione (sugli atomi).

\frac{φ \lor C, ψ \lor \bar{C}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

Tuttavia una regola da sola non fornisce un sistema di prova. Vedi parte 3

2)

Pensaci in questo modo: il calcolo sequenziale PK di Gentzen è completo se stiamo usando qualche altro set di connettori al posto di $\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$

Finché esiste una "bella" traduzione da una lingua all'altra possiamo parlare di completezza. Ciò che conta in sostanza è che possiamo tradurre le formule dall'una all'altra e viceversa in modo efficiente. Puoi verificare la tesi di Robert Reckhow in cui affronta la questione del connettivo e mostra che per i sistemi Frege la lunghezza delle prove non cambia più di un polinomio, quindi in un certo senso va bene scegliere qualsiasi set di connessioni adeguate che ti piacciono.

La situazione per la risoluzione è simile. Riducendo da SAT a 3SAT possiamo limitare la nostra attenzione ai CNF e la trasformazione può essere effettuata in modo molto efficiente.

Si noti che la risoluzione non è sola qui, il problema si applica anche ad altri sistemi di prova. Prendiamo ad esempio Frege con profondità limitata dove la profondità delle formule deve essere delimitata da una costante, quindi per definizione non può provare alcuna famiglia di formule con profondità illimitata.

3)

Definiamo cosa significa completare un sistema a prova di proposizione. Di Cook-Reckhow, un sistema di prove proposizionali $P$ $\vdash_P$

Efficienza: è decidibile in tempo polinomiale, cioè data una stringa (formula) e una stringa (prova), possiamo decidere se $\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
Solidità: se esiste una $P$ $\varphi$ $\varphi$
Completezza: se è vero, allora c'è a $\varphi$ $P$ $\varphi$

La definizione è molto generale e non parla affatto della struttura della dimostrazione. Tutto ciò che soddisfa queste condizioni è un sistema di prova proposizionale.

Quale classe di formula dovremmo considerare in questi articoli? Sono state prese in considerazione diverse classi di formule e la prima trattazione del problema che conosco è la tesi di Robert Reckhow in cui mostra che, per quanto riguarda i sistemi Frege, non importa quale set adeguato di connettori si usi, tutti loro sono equivalenti.

Per quanto riguarda la risoluzione, se si vuole davvero avere completezza riguardo a tutte le formule e non solo ai CNF, è possibile incorporare una traduzione a tempo polinomiale fissa da formule arbitrarie a CNF nel sistema di prova senza problemi poiché la traduzione è calcolabile a tempo polinomiale.

$\pi$ $\bot$ $\lnot \varphi$

4)

La risoluzione va bene così com'è, tuttavia si può anche pensarla nel modo in cui è stata menzionata, vale a dire ovviamente possiamo considerarla come la regola di taglio quando la formula di taglio è un atomo positivo spostando gli atomi negativi verso l'antecedente e mantenendo quelli positivi nel succedente:

\frac{\Rightarrow φ, C C \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ, ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

Si noti che ciò che definisce la potenza di un sistema di prova proposizionale nei sottosistemi di Frege (e persino nei sottosistemi di sistemi di prova proposizionale simili più potenti come la logica proposizionale quantificata $G$

ps: La mia risposta è principalmente dalla prospettiva teorica della complessità della prova. Potresti voler controllare altre prospettive come la teoria delle prove strutturali .

Riferimenti:

Robert A. Reckhow, " Sulle lunghezze delle prove nel calcolo proposizionale ", 1976.

— Kaveh
fonte

Grazie per la tua risposta. Vedo come Uday sta dicendo cose simili, ma ho scoperto che avrei potuto seguire la sua risposta più facilmente.

— Vijay D,

@VijayD, certo, nessun problema. :)

— Kaveh,