Una formula 3-CNF che richiede una larghezza di risoluzione

Ricordiamo che la larghezza di una risoluzione refutazione di una formula CNF F è il numero massimo di letterali in qualsiasi clausola che si verificano in R . Per ogni w , ci sono formule insoddisfacenti F in 3-CNF st ogni confutazione di risoluzione di F richiede larghezza almeno w .$R$$F$$R$$w$$F$$F$$w$

Ho bisogno di un esempio concreto di una formula insoddisfacente in 3-CNF (il più piccolo e semplice possibile) che non abbia confutazione della risoluzione della larghezza 4.

L'esempio seguente proviene dall'articolo che fornisce una caratterizzazione combinatoria della larghezza della risoluzione di Atserias e Dalmau ( Journal , ECCC , copia dell'autore ).

Il teorema 2 del documento afferma che, data una formula CNF , le confutazioni della risoluzione della larghezza al massimo k per F sono equivalenti alle strategie vincenti per Spoiler nel gioco esistenziale ( k + 1 ) . Ricordiamo che il gioco esistenziale ghiaia si gioca tra due giocatori in competizione, chiamati Spoiler e duplicatore, e le posizioni del gioco sono le assegnazioni parziali di dimensioni del dominio al massimo k + 1 a variabili di F . Nel gioco ( k + 1 ) -pebble, a partire dall'assegnazione vuota, Spoiler vuole falsificare una clausola da $F$$k$$F$$(k+1)$$k+1$$F$$(k+1)$$F$ricordando al massimo $k+1$ valori booleani alla volta e Duplicator vuole impedire a Spoiler di farlo.

L'esempio si basa sul (negazione) del principio del buco del piccione.

Per ogni e j ∈ { 1 , ... , n } , lascia che p i , j sia una variabile proposizionale che significa che il piccione i si trova nel buco j . Per ogni i ∈ { 1 , ... , n + 1 } e j ∈ { 0 , ... , n } , let$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{1, \dotsc, n \}$$p_{i,j}$$i$$j$$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{0, \dotsc, n \}$ essere una nuova variabile proposizionale. La seguenteformula3-CNF E P i esprime che il piccionei sitrova in un buco: E P i ≡¬ y i , 0 ∧ n ⋀ j = 1 ( y i , j - 1 ∨ p i , j ∨¬ y i , j )∧ y i , n Infine, il$y_{i,j}$$3$${EP}_i$$i$

$${EP}_i \equiv \neg y_{i,0} \wedge \bigwedge_{j=1}^n (y_{i,j-1} \vee p_{i,j} \vee \neg y_{i,j} ) \wedge y_{i,n}.$$ formula 3 -CNF E P H P n + 1 n che esprime la negazione del principio del piccione è la congiunzione di tutte le E P i e tutte le clausole H i , j k ≡ ¬ p i , k ∨ ¬ p j , k per i , j ∈ { 1 , ... , n + 1 } , i ≠ j e$3$${EPHP}_n^{n+1}$${EP}_i$$H_k^{i,j} \equiv \neg p_{i,k} \vee \neg p_{j,k}$$i,j \in \{1, \dotsc, n+1 \}, i \ne j$$k \in \{1, \dotsc, n \}$

Lemma 6 del documento fornisce una prova abbastanza breve e intuitiva che Spoiler non può vincere $n$-pebble game on ${EPHP}_n^{n+1}$, quindi ${EPHP}_n^{n+1}$ non ha alcuna confutazione della risoluzione della larghezza al massimo $n-1$.

L'articolo contiene un altro esempio in Lemma 9, basato sul denso principio dell'ordine lineare.

Dato che il calcolo della larghezza minima per le confutazioni della risoluzione è EXPTIME completo e inoltre richiede $\Omega(n^{(k-3)/12})$ tempo per certificare che la larghezza minima è almeno $k+1$(vedi l'articolo di Berkholz su FOCS o arXiv ), forse è difficile trovare esempi che dimostrano di avere bisogno di confutazioni di ampia risoluzione?