durezza di approssimazione del numero cromatico in grafici con grado limitato


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Sto cercando risultati di durezza sulla colorazione dei vertici di grafici con grado limitato.

Dato un grafico , sappiamo che per qualsiasi , è difficile approssimare entro un fattore di meno che [ 1 ]. Ma cosa succede se il massimo grado di è limitato da ? Esistono rapporti di durezza nella forma (per alcuni ) in questo caso?G(V,E)ϵ>0χ(G)|V|1ϵNP=ZPPGdd1ϵϵ

Una domanda più semplice è: la durezza dell'approssimazione del numero cromatico del bordo degli ipergrafi quando la loro dimensione del bordo è limitata da . Possiamo sperare in un rapporto di durezza in questo caso? (diciamo, per qualsiasi )dd1ϵϵ>0

Grazie per l'attenzione!


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puoi riempire un'istanza difficile con vertici isolati
Sasho Nikolov

2
Sì, ma se metti un limite finito sulla dimensione dell'istanza difficile da cui inizi, smette di essere difficile.
David Eppstein,

1
@Sasho Come possono aiutare i vertici isolati quando aumentano né il numero cromatico né il grado massimo?
afshi7n,

2
@DavidEppstein certo, questa imbottitura dimostra qualcosa solo se e sono ancora polinomialmente correlati. OP, questo è esattamente il punto. si inizia con un'istanza con vertici (quindi massimo grado al massimo ) per cui è difficile approssimare all'interno di . aggiungi vertici isolati . rimane uguale e il grado massimo rimane . questo è polytime se . quindi per qualsiasi numero interondddχd1ϵndχdN=dO(1) , esistono istanze con grado massimo d = n 1 / kkd=n1/kper il quale è difficile approssimare entro d 1 - ϵχd1ϵ
Sasho Nikolov

Aggiornamento: NP è difficile approssimare entro un fattore di | V | 1 - ϵ senza ipotesi aggiuntive. χ(G)|V|1ϵ
Cyriac Antony,

Risposte:


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Come ha sottolineato David, l'articolo di Khot, "Risultati di inapprossimabilità migliorati per MaxClique, numero cromatico e colorazione approssimativa del grafico", Teorema 1.6, afferma che è difficile NP colorare il grafico color con 2 Ω ( ( log K ) 2 ) per grafici con grado al massimo 2 2 ( log K ) 2 , per K sufficientemente grande costante . In altre parole, per i grafici di grado d , è difficile colorare 2 K2Ω((logK)2)22(logK)2Kd - grafico acoloriconlogdcolori.2loglogdlogd

Per ottenere una migliore laurea, è possibile utilizzare le idee tratte dall'articolo di Trevisan "Risultati di non approssimabilità per problemi di ottimizzazione su istanze di laurea limitate". L'osservazione chiave è che il grafico prodotto dalla riduzione FGLSS è un'unione di sottografi bipartiti completi e si può sostituire ciascuno di essi con un dispersore bipartito che è molto più parsimonioso. Un'idea simile usata in molti risultati come Chan http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/ , Teorema 1.4 / Appendice D.

2clogdddc0<c<1

Il grado rilegato nel documento che Michael ha citato è simile a quello di Khot, vale a dire esponenziale del caso di solidità. Naturalmente anche l'approccio di sparsificazione sopra migliora questo, ma probabilmente non darà una costante migliore per il tuo scopo.


2Ω(loglogd)22Ω(loglogd)

logd/2loglogdlogd/(loglogd)3dcd

1
dc


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Esiste un risultato di inapprossimabilità per la colorazione di grafici a gradi limitati nel documento FOCS'01 di Khot, "Risultati di inapprossimabilità migliorati per MaxClique, numero cromatico e colorazione approssimativa del grafico" - è probabilmente più debole di quanto si desideri, ma almeno è nella direzione giusta.

kk2kO(logk)exp((logk)2/25)dO(logd)


logd

Perché non chiedere a Khot?
Chandra Chekuri,

1
@chandra Ho appena inviato un'e-mail e gli ha chiesto, grazie per il suggerimento! Aggiornerò qui se ho sentito di nuovo.
afshi7n

klogk/25exp((klogk)/25)2k1/3

k(logk)/25exp((klogk)/25)

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Questo risultato potrebbe essere utile:

Δk=ΔΔ+1k3

T. Emden-Weinert, S. Hougardy, B. Kreuter, Grafici colorabili in modo univoco e durezza dei grafici coloranti di grande circonferenza, Combin. Probab. Comput. 7 (4) (1998) 375–386

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