durezza di approssimazione del numero cromatico in grafici con grado limitato

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Sto cercando risultati di durezza sulla colorazione dei vertici di grafici con grado limitato.

Dato un grafico , sappiamo che per qualsiasi , è difficile approssimare entro un fattore di meno che [ 1 ]. Ma cosa succede se il massimo grado di è limitato da ? Esistono rapporti di durezza nella forma (per alcuni ) in questo caso? $G(V,E)$ $\epsilon>0$ $\chi(G)$ $|V|^{1-\epsilon}$ $\textit{NP}=\textit{ZPP}$ $G$ $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon$

Una domanda più semplice è: la durezza dell'approssimazione del numero cromatico del bordo degli ipergrafi quando la loro dimensione del bordo è limitata da . Possiamo sperare in un rapporto di durezza in questo caso? (diciamo, per qualsiasi ) $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon >0$

Grazie per l'attenzione!

— afshi7n
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3

puoi riempire un'istanza difficile con vertici isolati

— Sasho Nikolov

2

Sì, ma se metti un limite finito sulla dimensione dell'istanza difficile da cui inizi, smette di essere difficile.

— David Eppstein,

1

@Sasho Come possono aiutare i vertici isolati quando aumentano né il numero cromatico né il grado massimo?

— afshi7n,

2

@DavidEppstein certo, questa imbottitura dimostra qualcosa solo se e sono ancora polinomialmente correlati. OP, questo è esattamente il punto. si inizia con un'istanza con vertici (quindi massimo grado al massimo ) per cui è difficile approssimare all'interno di . aggiungi vertici isolati . rimane uguale e il grado massimo rimane . questo è polytime se . quindi per qualsiasi numero intero

n

$n$

d

$d$

d

$d$

d

$d$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

n - d

$n - d$

χ

$\chi$

d

$d$

N = d^{O (1)}

$N = d^{O(1)}$

, esistono istanze con grado massimo

k

$k$

d = n^{1 / k}

$d = n^{1/k}$ per il quale è difficile approssimare

entro

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

— Sasho Nikolov

Aggiornamento: NP è difficile approssimare

entro un fattore di

senza ipotesi aggiuntive.

χ (G)

$\chi(G)$

| V |^{1 - ϵ}

$|V|^{1-\epsilon}$

— Cyriac Antony,

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Come ha sottolineato David, l'articolo di Khot, "Risultati di inapprossimabilità migliorati per MaxClique, numero cromatico e colorazione approssimativa del grafico", Teorema 1.6, afferma che è difficile NP colorare il grafico color con per grafici con grado al massimo , per sufficientemente grande costante . In altre parole, per i grafici di grado , è difficile colorare $K$ $2^{\Omega((\log K)^2)}$ $2^{2^{(\log K)^2}}$ $K$ $d$ - grafico acoloriconcolori. $2^{\sqrt{\log\log d}}$ $\log d$

Per ottenere una migliore laurea, è possibile utilizzare le idee tratte dall'articolo di Trevisan "Risultati di non approssimabilità per problemi di ottimizzazione su istanze di laurea limitate". L'osservazione chiave è che il grafico prodotto dalla riduzione FGLSS è un'unione di sottografi bipartiti completi e si può sostituire ciascuno di essi con un dispersore bipartito che è molto più parsimonioso. Un'idea simile usata in molti risultati come Chan http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/ , Teorema 1.4 / Appendice D.

$2^{\sqrt{c\log d}}$ $d$ $d^{c}$ $0<c<1$

Il grado rilegato nel documento che Michael ha citato è simile a quello di Khot, vale a dire esponenziale del caso di solidità. Naturalmente anche l'approccio di sparsificazione sopra migliora questo, ma probabilmente non darà una costante migliore per il tuo scopo.

— sangxia
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2^{Ω (\log \log d)}

$2^{\Omega(\log \log d)}$

2^{2^{Ω (\sqrt{\log \log d})}}

$2^{2^{\Omega(\sqrt{\log \log d})}}$

\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}

$\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}$

\log d / (\log \log d)^{3}

$\log d / (\log\log d)^3$

d^{c}

$d^c$

d

$d$

1

d^{c}

$d^c$

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$3$

$\Delta$ $3$ $\Delta$ $4$

— vb le
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8

Esiste un risultato di inapprossimabilità per la colorazione di grafici a gradi limitati nel documento FOCS'01 di Khot, "Risultati di inapprossimabilità migliorati per MaxClique, numero cromatico e colorazione approssimativa del grafico" - è probabilmente più debole di quanto si desideri, ma almeno è nella direzione giusta.

$k$ $k$ $2^{k^{O(\log k)}}$ $\exp((\log k)^2/25)$ $d$ $O(\log d)$

— David Eppstein
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\log d

$\log d$

Perché non chiedere a Khot?

— Chandra Chekuri,

1

@chandra Ho appena inviato un'e-mail e gli ha chiesto, grazie per il suggerimento! Aggiornerò qui se ho sentito di nuovo.

— afshi7n

k^{\log k / 25}

$k^{\log k/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

2^{k^{1 / 3}}

$2^{k^{1/3}}$

k^{(\log k) / 25}

$k^{(\log k)/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

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Questo risultato potrebbe essere utile:

$\Delta$ $k=$ $\Delta - \sqrt\Delta +1$ $k\ge 3$

T. Emden-Weinert, S. Hougardy, B. Kreuter, Grafici colorabili in modo univoco e durezza dei grafici coloranti di grande circonferenza, Combin. Probab. Comput. 7 (4) (1998) 375–386

— Mohammad Al-Turkistany
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