Informazioni su Inverse 3-SAT

Contesto : Kavvadias e Sideri hanno dimostrato che il problema Inverse 3-SAT è coNP Complete: Dato un set di modelli su n variabili, esiste una formula 3-CNF tale che ϕ è il suo set esatto di modelli? Sorge una formula candidata immediata che è la congiunzione di tutte le 3 clausole soddisfatte da tutti i modelli in ϕ .$\phi$$n$$\phi$$\phi$

Poiché contiene tutte le 3 clausole che implica, questa formula candidata può essere facilmente trasformata in una formula equivalente che è 3 chiusa in risoluzione - La 3 chiusura di una formula è il sottoinsieme della sua chiusura in risoluzione contenente solo clausole di taglia 3 o meno. Una formula CNF viene chiusa in risoluzione se tutti i possibili risolutori sono inclusi in una clausola della formula - una clausola c 1 è inclusa in una clausola c 2 se tutti i letterali di c 2 sono in c 1 .$F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

Dato , un'assegnazione parziale delle variabili tale che I non è un sottoinsieme di alcun modello di ϕ .$I$$I$$\phi$

Chiama , la formula indotta applicando I a F φ : Qualunque clausola che contiene un letterale che restituisce t r u e sotto I è soppressa dalla formula e qualsiasi letterali che restituiscono f un l s e sotto Io sono soppressi da tutti clausole .$F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

Chiama , la formula che deriva da F ϕ | Io con tutte le possibili 3 risoluzioni limitate (in cui il risolvente e gli operandi hanno al massimo 3 letterali) e sottotitoli.$G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

Domanda : Is chiuso in risoluzione 3?$G_{\phi|I}$

Risposta: Sì (anche se un sottoinsieme di alcuni modelli di ϕ )$I$$\phi$

Lascia che l'insieme delle clausole che derivano da F ϕ ∪ F ϕ | I con tutte le possibili risoluzioni e sottosezioni limitate a 3 ( R | I è la chiusura limitata a 3 di F ϕ ∪ F ϕ | I ). Dato c una clausola implicita da F ϕ , esiste almeno un sottoinsieme di R | Io le cui clausole implicano c . Nome R c tale sottoinsieme.$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

Sia la seguente proprietà: Per tutto c implicito da F ϕ tale che | c | Io | ≤ 3 ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

tale che | R c | ≤ k ⇒ c | Sono riassunto da alcune clausole ∈ G ϕ | Io$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

Qui inizia la ricorrenza. Dato implicito da F ϕ tale che | c | Io | ≤ 3 , ovvero c | I ∈ la chiusura 3 di F ϕ | Io .$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. . Se ∃ R c ⊆ R | I / | R c | = 1 quindi R c = { d } ( d ∈ F ϕ ∪ F ϕ | I sottrae c ) ec | I è riassunto da d | I ∈ F ϕ | I (nota che qualsiasi clausola di F ϕ |$k=1$$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$è ripreso da una clausola di ). Quindi P ( 1 ) .$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. Supponiamo che per k ≥ 1 . Se ∃ R c ⊆ R | Mi tale che | R c | ≤ k + 1 (e nessun altro R c di dimensione 1 tale che c ∉ F ϕ e | c | > 3 ) supponiamo quindi c = ( α β γ L I ) dove α , β $P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$ sono valori letterali non impostati da I e L I è un sottoinsieme di valori letterali tutti valutati su 0 sotto I ( L I ≠ ∅ ) , ovvero c | I = ( α β γ ) , con α , β , γ non necessariamente diverso. $\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. Rimuovere una clausola da R c tale che | d i | Io | < | d i | ≤ 3 , in altre parole, tale che d i contenga un valore letterale di L I (esiste almeno una di tali clausole in R c poiché L I ≠ ∅ ) e | d i | Io | ≤ 2 .$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. La dimensione dell'insieme rimanente è ≤ k . Se una determinata clausola c ′ = ( α β γ L ′ I ) è implicita da R c ∖ d i (dove L ′ I è un sottoinsieme di valori letterali tutti valutano a 0 sotto I ) allora | c ′ | Io | = 3 e ∃ R c ′ = R c ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$ tale che | R c ′ | ≤k. DiP(k), c ′ | I =(αβγ)viene quindi ripreso da una clausola∈ G ϕ | I , inducendoP(k+1)perc.$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. Se contiene ˉ α o ˉ β o ˉ γ quindi d i | Sono inutile implicare [qualche clausola che fa parte] c . Quindi R c ∖ d i implica c , inducendo P ( k + 1 ) come mostrato in precedenza.$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. Se sussume c | I quindi P ( k + 1 ) è soddisfatto per c .$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. Se sussumo c | I e non contiene ˉ α o ˉ β o ˉ γ quindi d i | I = ( x ) oppure d i | I = ( a x ) oppure d i | I = ( x y ) , dove x ed y ∉ { alfa ß $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ e non sono impostati da I e da ∈ { α β γ } .$\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • Se quindi R c ∖ d i implica ( ˉ x α β γ L I ) (ricorda che implicare una certa clausola C significa implicare una clausola che riprende C ). Da qualsiasi risoluzione con d i | I = ( x ) come operando rimuove ˉ x dall'altro operando, quindi nessuna clausola di R c ∖ d $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$contiene (poiché R c ∖ d i ⊆ R | I che è la chiusura limitata a 3 di F ϕ ∪ F ϕ | I ). Quindi R c ∖ d i implica ( α β γ L I ) , inducendo P ( k + 1 ) come mostrato nel punto (4).$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Se quindi R c ∖ d i implica ( ˉ x α β γ L I ) . Sostituisci ˉ x con una in ogni possibile clausola di R c ∖ d i (se la nuova clausola è inclusa in qualche clausola in R | I , mantieni invece la clausola di riassunto. Comunque, la clausola di sostituzione è in R | I ). Nome R $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$ l'insieme risultante ( R c , d i ⊆ R | I ). Quindi R c , d i implica(αβγ L I ), inducendoP(k+1)come sopra.$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Se quindi R c ∖ d i implica ( ˉ x α β γ L I ) e ( ˉ y α β γ L I ) . Sostituisci ˉ x con y in ogni possibile clausola di R c ∖ d i (come sopra, se la nuova clausola è inclusa in qualche clausola in R |$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$, mantieni invece la clausola di subsuming). Nome l'insieme risultante ( R c , d i ⊆ R | I ). Quindi R c , d i implica ( y α β γ L I ) . Poiché implica anche ( ˉ y α β γ L I ), allora implica il risolvente ( α β γ L I ) , inducendo $R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ .$P(k+1)$

Con questa ricorrenza, qualsiasi clausola la chiusura 3 di F ϕ | Sono riassunto da alcune clausole ∈ G ϕ | I (anche il contrario). Quindi G ϕ | I corrisponde alla chiusura 3 di F ϕ | Io .$\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

Non vedo come possa essere calcolato in tempo polinomiale perché fare la risoluzione stessa richiede tempo esponenziale (nel peggiore dei casi). Ad esempio, supponiamo che la formula F 1 del tuo 3-CNF sia la seguente: F 1 : = { { a , b , c } , { d , e , ¬ c } , { a , ¬ b , f } , { d , e , ¬ f } $F_\phi$$F_1$

$F_\phi$