Prove in

In un discorso di Razborov, viene pubblicata una curiosa piccola affermazione.

Se FACTORING è difficile, il piccolo teorema di Fermat non è dimostrabile in .$S_{2}^{1}$

Che cos'è e perché le prove correnti non sono in S_ {2} ^ {1} ? $S_{2}^{1}$$S_{2}^{1}$

$S^1_2$ è una teoria dell'aritmetica limitata, ovvero una debole teoria assiomatica ottenuta restringendo gravemente lo schema di induzione dell'aritmetica di Peano . È una delle teorie definite da Sam Buss nella sua tesi , altri riferimenti generali includono il capitolo V di Hájek e la metamatematica di aritmetica di primo ordine di Hájek e Pudlák , l'aritmetica limitata, la logica proposizionale e la teoria della complessità di Krajíček, il capitolo II del Manuale di Buss della teoria delle prove e le basi logiche della complessità delle prove di Cook e Nguyen .

Puoi pensare a come una teoria dell'aritmetica che ha l'induzione solo per predicati del tempo polinomiale. In particolare, la teoria non dimostra che l'espiazione sia una funzione totale, la teoria può dimostrare di esistere solo oggetti di dimensioni polinomiali (parlando in senso lato).$S^1_2$

Tutte le prove conosciute del piccolo teorema di Fermat utilizzano oggetti di dimensioni esponenziali o si basano sul conteggio esatto di dimensioni di insiemi limitati (che probabilmente non è definibile da una formula limitata, cioè nella gerarchia polinomiale, a causa del teorema di Toda).

Il risultato su FLT, e factoring deriva dall'articolo di Krajíček e Pudlák Alcune conseguenze delle congetture crittografiche per ed EF , e secondo me è abbastanza fuorviante. Ciò che Krajíček e Pudlák dimostrano è che se il factoring (in realtà, IIRC lo dichiarano per RSA anziché factoring, ma è noto che un argomento simile funziona anche per il factoring) è difficile per il tempo polinomiale randomizzato, quindi non può provare l'affermazione che ogni numero coprimi a un numero primo ha esponente finito modulo , cioè esiste tale che .$S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$a$$p$$p$$k$$a^k\equiv1\pmod p$

È vero che questa è una conseguenza di FLT, ma in realtà è un'affermazione molto, molto più debole di FLT. In particolare, questa affermazione deriva dal debole principio del buco del piccione, che è noto per essere provabile in un sottosistema di aritmetica limitata (sebbene più forte di ). Pertanto, l'argomento di Krajíček e Pudlák mostra che non dimostra il debole principio del buco del piccione a meno che il factoring non sia facile, e come tale fornisce una separazione condizionale di da un altro livello della gerarchia aritmetica limitata, diciamo .$S^1_2$$S^1_2$$S^1_2$$T^2_2$

Al contrario, l'attuale FLT non sembra nemmeno essere dimostrabile nell'aritmetica delimitata al massimo , ma ciò non è correlato alla crittografia. Potete trovare alcune discussioni rilevanti nel mio lavoro sui gruppi abeliani e sui residui quadratici nell'aritmetica debole .$S_2=T_2$