Algoritmi costruttivamente efficienti senza efficiente correttezza e prova di efficienza

Sto cercando esempi naturali di algoritmi efficienti (cioè in tempi polinomiali) st

la loro correttezza ed efficienza possono essere dimostrate in modo costruttivo (ad es. in o ), ma $PRA$ $HA$
non è nota alcuna prova che utilizza solo concetti efficienti (ovvero non sappiamo come dimostrarne la correttezza e l'efficienza in o ). $TV^0$ $S^1_2$

Posso fare da solo esempi artificiali. Tuttavia, desidero interessanti esempi naturali, ovvero algoritmi studiati per se stessi, non creati solo per rispondere a questo tipo di domande.

— Kaveh
fonte

Forse qualcosa dalla teoria degli automi, in cui un algoritmo è semplice, ma per dimostrarlo funziona bisogna considerare tutti i sottoinsiemi di qualcosa o altro?

— Andrej Bauer,

Che ne dite del controllo della primalità al tempo polinomiale? Quella prova sarà probabilmente abbastanza complicata da essere difficile da attaccare all'interno di ?

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Andrej Bauer,

@Neel, in realtà la tesi di Emil " Principio debole del buco del piccione e calcolo randomizzato " riguarda la formalizzazione di algoritmi probabilistici. Un assioma principale necessario per formalizzare alcuni di questi sembra essere il conteggio approssimativo che non fa parte di

. Penso che potrebbe essere più semplice attenersi al caso polivalente deterministico con

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Kaveh,

ps: Sarebbe più interessante se potessimo dimostrare che la correttezza / efficienza degli algoritmi non sono dimostrabili in queste teorie, o almeno equivalgono a affermazioni che non sono provate in esse. Tuttavia, chiederlo è probabilmente troppo per quello che sappiamo attualmente.

— Kaveh,

@Neel, la maggior parte della probabilità rilevante può essere fatta nei sistemi del primo ordine poiché non hai mai veramente bisogno di conoscere la probabilità esatta di un evento, di solito devi solo confrontare quella probabilità con determinati numeri razionali.

— François G. Dorais,

Risposte:

Questa è la stessa idea della risposta di Andrej ma con maggiori dettagli.

Krajicek e Pudlak [ LNCS 960, 1995, pp. 210-220 ] hanno dimostrato che se è una proprietà che definisce i numeri primi nel modello standard e $P(x)$ $\Sigma^b_1$

S_{2}^{1} ⊢ \neg P (X) \to (\exists y_{1}, y_{2}) (1 < y_{1}, y_{2} < X \land X = y_{1} y_{2})

$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$ poi c'è un algoritmo di factoring temporale polinomiale. Ciò fornisce una serie di esempi poiché qualsiasi algoritmo NP per i test di primalità produce sostanzialmente una formula

. In particolare, il test di primalità AKS fornisce una formula del genere (se opportunamente rifuso nella lingua di

). L'articolo di Krajicek e Pudlak fornisce altri esempi di questo tipo relativi alla crittografia, ma precede l'AKS e i relativi progressi di alcuni anni.

Σ_{1}^{b}

$\Sigma^b_1$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— François G. Dorais
fonte

$\mathrm{TC}^0$ $\mathit{VTC}^0$

$\mathit{TV}^0$ $\mathit{VTC}^0$ $\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$ $\left(\frac ap\right)=1$ $a$ $p$

$S^1_2$

Un'altra classe di esempi è data dai test di irriducibilità e dagli algoritmi di fattorizzazione per i polinomi (principalmente su campi finiti e razionali). Questi invariabilmente si basano sul piccolo teorema di Fermat o sulle sue generalizzazioni (tra gli altri), e come tale non sono noti per essere formalizzabili in una teoria appropriata dell'aritmetica limitata. Tipicamente, questi algoritmi sono randomizzati, ma per esempi di tempo polinomiale deterministici, si può fare il test di irriducibilità di Rabin o l' algoritmo a radice quadrata Tonelli – Shanks (formulato in modo che sia richiesto un non quadratico non residuo come parte dell'input).

— Emil Jeřábek sostiene Monica
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Il test di primalità dell'AKS sembra un buon candidato se si deve credere a Wikipedia.

Tuttavia, mi aspetto che un tale esempio sia difficile da trovare. Le prove esistenti verranno formulate in modo da non essere ovviamente eseguite in aritmetica limitata, ma saranno probabilmente "adattabili" all'aritmetica limitata con più o meno sforzo (di solito più).

— Andrej Bauer
fonte

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

C'è un meraviglioso documento di Krajicek e Pudlak che fornisce molti altri esempi: karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/j-crypto.ps

— François G. Dorais,

@ François, perché non pubblicare una risposta? :)

— Kaveh,

Quindi, ottengo il massimo dei voti positivi per aver fatto una prima ipotesi fortunata, mentre altri sanno davvero cosa sta succedendo. La matematica è proprio come MTV.

— Andrej Bauer,