Qual è la complessità di questo problema di colorazione dei bordi?

Di recente ho riscontrato la seguente variante di colorazione dei bordi.

Dato un grafico non orientato collegato, trova una colorazione dei bordi che utilizza il numero massimo di colori soddisfacendo al contempo il vincolo che, per ogni vertice , i bordi incidenti da utilizzano al massimo due colori. $v$ $v$

La mia prima ipotesi è che il problema sia NP-difficile. Le prove classiche NP-hard per problemi di colorazione dei grafi sono principalmente ridotte da 3SAT. Ma a mio avviso, queste prove non sono utili per questo problema perché i bordi incidenti a un vertice possono essere colorati con lo stesso colore, quindi non possiamo costruire componenti logici nel grafico.

Questo problema potrebbe essere NP-difficile? Se sì, qual è una prova? Se non riusciamo a trovare una prova, esiste un metodo per determinare la complessità di questo problema?

Grazie!

— RIC_Eien
fonte

Forse la colorazione Hypergraph mista o limitata al colore potrebbe essere un inizio? Ad esempio, dx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.04.019

— András Salamon,

Sembra che il tuo problema sia in P, in due passaggi: (1) il tuo problema equivale a trovare un sottoinsieme di dimensioni massime dei bordi in modo tale che ogni vertice abbia un grado massimo di due, e (2) quest'ultimo problema sembra essere in P, per esempio, riduzione all'abbinamento. Per quanto riguarda (1), nota che qualsiasi soluzione al tuo problema con k colori fornisce un sottografo di grado 2 di dimensione k (mantieni solo un bordo di ciascun colore), e viceversa qualsiasi sottografo di grado 2 di dimensione k fornisce una soluzione con k colori (basta colorare ogni bordo del sottografo con il proprio colore, colorare il resto dei bordi con uno qualsiasi dei colori). Cosa mi sto perdendo?

— Neal Young,

Mi dispiace che ci siano diversi errori nella tua risposta. Inizialmente, il problema "trovare un sottoinsieme di spigoli di dimensioni massime tale che ogni vertice abbia un grado massimo di due", è NP-hard, riduzione a 3SAT (non so davvero come potrebbe avere una riduzione alla corrispondenza). Inoltre, "qualsiasi sottografo di grado 2 di dimensione k" non fornisce "una soluzione con k colori", ad esempio Grafico completo. Grazie lo stesso.

— RIC_Eien

Sì hai ragione. A proposito di (2), il passaggio "colora il resto dei bordi con uno qualsiasi dei colori" può dare dei bordi vertici di tre colori. Separatamente, Marek Chrobak mi ha suggerito il seguente algoritmo. Penso che fornisca un'approssimazione 3: (i) trova una corrispondenza M massima; (ii) colora ogni bordo in M del suo colore unico; (iii) colora di bianco i bordi rimanenti.

— Neal Young,

@RIC_Eien: A rischio di ulteriore imbarazzo. Sei sicuro che "il problema 'trovare un sottoinsieme di bordi della dimensione massima in modo tale che ogni vertice abbia grado al massimo due', è NP-difficile"? Dato G = (V, E), crea bipartito G2 = (U, W, E2), dove per ogni vertice v in V c'è v 'in U e v' 'in W, ed E2 = {(u', w ''): (u, w) in E}. Quindi gli abbinamenti in G2 corrispondono agli insiemi di spigoli di grado 2 in G e la corrispondenza conserva le dimensioni? (Poiché ogni ciclo k C in G corrisponde in G2 a un ciclo 2k (se k dispari) o due cicli k (se k pari). Quindi, la corrispondenza massima in G2 lo risolve. Cosa mi sto perdendo questa volta?

— Neal Young,

Questo problema è NP-hard e APX-hard; vedi: Adamaszek e Popa, risultati di approssimazione e durezza per il problema del massimo qcolore $q$ , Appunti di lezione in Informatica 6507 (2010) 132-143 .

Gli aspetti di complessità parametrizzata di questo problema sono affrontati in questo recente documento .

— vb le
fonte

Ho pensato per un po 'a questo bel problema ... Puoi per favore descrivere la riduzione? Non ho accesso al documento. Grazie!

— user13667,

@ user13667 Puoi chiedere agli autori di inviarti una copia del loro documento. Penso che sarebbero felici di farlo.

— vb, il

È stata anche studiata la questione correlata di trovare una colorazione che massimizzi il numero di colori riducendo al minimo le dimensioni del gruppo di colori più grande. Ad esempio, questa tesi di master ha diversi risultati dettagliati.

— Neeldhara,