Prove alternative del lemma di Schwartz – Zippel

Sono a conoscenza solo di due prove del lemma di Schwartz-Zippel. La prima (più comune) prova è descritta nella voce di Wikipedia . La seconda prova è stata scoperta da Dana Moshkovitz.

Ci sono altre prove che usano idee sostanzialmente diverse?

Ecco un'altra idea che ho avuto per una prova geometrica. Usa la geometria proiettiva in modo essenziale.

Lasciate che essere un punto di affine al di fuori della ipersuperficie . Proiettare l'ipersuperficie sull'iperpiano all'infinito usando come centro; cioè, mappare ogni su , l'intersezione della linea univoca attraverso e con l'iperpiano all'infinito. I preimages sotto di un punto all'infinito trovano tutti sulla stessa linea, e quindi (riducendo ancora il problema di dimensione 1) ci sono più di loro. L'iperpiano all'infinito ha cardinalità, quindi otteniamo il familiare limite superiore. S c x ∈ S p ( x ) c x p d | F m - 1 | | S | ≤ d | F m - 1$c \in \mathbb F^m$$S$$c$$x \in S$$p(x)$$c$$x$$p$$d$$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

Come seguito alla risposta di Per Vognsen, la prova di Dana Moshkovitz suggerisce già una prova davvero semplice solo per una versione leggermente più debole di Schwartz-Zippel Lemma che, credo, è sufficiente per la maggior parte delle applicazioni.

Sia un polinomio diverso da zero di grado , dove è un campo finito di ordine , e lascia che essere un punto tale che . Ci sono molte linee distinte che passano attraverso modo tale da partizionare . La restrizione di a ciascuna di queste righe è un polinomio univariato di grado , che è diverso da zero, perché è diverso da , e quindi ha al massimo zero. Pertanto, il numero totale di zeri di$f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$$f$$d$ $x$$d$$f$è al massimo . Schwartz-Zippel, per confronto, fornisce il limite superiore più forte di .$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

Data la facilità di questa dimostrazione, sono sicuro che sia folklore; in caso contrario, dovrebbe essere :) Gradirei se qualcuno potesse fornire un riferimento.

La prova di Moshkovitz si basa su una geometria semplice, ma la carta non è troppo chiara su questo. Ecco l'idea:

Un polinomio di grado in variabili ritaglia un'ipersuperficie in . L'intersezione dell'ipersuperficie e una linea indipendente (ovvero l'intersezione non è l'intera linea) ha al massimo punti d. Se riesci a trovare una direzione ovunque indipendente dall'ipersuperficie, puoi foliare con linee parallele in quella direzione e contare le intersezioni all'interno di ciascuna linea. La foliazione è parametrizzata dal complemento ortogonale della direzione, che è un iperpiano isomorfo a , quindi il numero totale di punti di ipersuperficie su tutti i è al massimo .m F m F m F m - 1 F m d | F | m - $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$$d\ |F|^{m-1}$

Ciò suggerisce che altre prove simili potrebbero funzionare.

Modifica: volevo dire un po 'di come la prova di Arnab si collega a quella di Moshkovitz. Prende un punto fuori dall'ipersuperficie e considera la matita di linee attraverso quel punto. Moshkovitz considera una famiglia di linee parallele. Sembra diverso ma è davvero la stessa cosa! Una famiglia parallela è una matita di linee che attraversa un punto all'infinito. L'algebra di Arnab si applica alla lettera se si prende per la prima volta l'omogeneizzazione del polinomio e si limita all'iperpiano all'infinito inserendo , che cancella tutti i termini non iniziali.$w = 0$

Modifica: vedi la mia altra risposta per una nuova (ma non completamente indipendente) prova.

Tentativo 1:

Hai visto Lemma A.36 (pagina 529) del libro di Arora / Barak ? È quasi mezza pagina e si basa sull'induzione.

Se non hai accesso al libro, posso eseguire la prova qui.

Tentativo 2:

Che dire della curiosa storia del Lemma di Schwartz-Zippel ? Tra gli altri, cita il documento di DeMillo-Lipton , risalente al 1977. Anche molti altri documenti sono stati nominati e confrontati.

Tentativo 3:

Anche il seguente argomento MathOverflow potrebbe essere interessante: algoritmo P / poly per test di identità polinomiale .

Il lemma di Schwartz-Zippel è un caso speciale di un teorema di Noga Alon e Zoltan Füredi come mostrato nella Sezione 4 di questo documento: sugli zeri di un polinomio in una griglia finita , e quindi ogni nuova prova di quel teorema fornisce una nuova prova di Schwartz -Zippel. Ad oggi, conosco sei diverse prove, due delle quali compaiono nel documento e altre sono citate lì.

Il teorema di Alon-Furedi dice quanto segue:

Lascia che sia un campo, che sia una griglia finita e che un polinomio che non svanisce modo identico su . Quindi per almeno elementi , dove il minimo è preso su tutti gli interi positivi con .$F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$y i ≤ # A i ∑ n i = 1 y i = ∑ n i = 1 # A i - deg $x \in A$$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

In questo se si assume e si il minimo (che può essere fatto facilmente usando le cose Balls in Bins menzionate nel documento), allora si ottiene il lemma di Schwartz-Zippel su un campo (o un dominio).$\deg f < \min \#A_i$

La formulazione originale del lemma di Schwartz-Zippel si applica solo ai campi:

Lemma (Schwartz, Zippel).
Let essere un non-zero polinomio di grado totale su un campo, . Lasciate un sottoinsieme finito di e lasciare essere selezionato in modo casuale indipendente e uniforme da . Quindi $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Si può riformulare il lemma in modo tale che abbia senso per anelli commutativi arbitrari:

Lemma (Jeřábek).
Let essere un non-zero polinomio di grado totale su un anello commutativo, . Sia un sottoinsieme finito di con e lascia essere selezionati a caso in modo indipendente e in modo uniforme da . Quindi $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$$\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$ S Pr [ P ( r 1 , r 2 , … , r n ) = 0 ] ≤ $r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Il vantaggio della prova di Wikipedia è che si generalizza per dimostrare che la riformulazione è vera per gli anelli commutativi arbitrari, che è stato notato e elaborato qui da Emil Jeřábek .

Ciò fornisce una prova alternativa del lemma di Schwartz-Zippel, dimostrando la riformulazione degli anelli commutativi generali e ottenendo la formulazione normale per i campi come corollario.