Approssimazione del rango di segno di una matrice

Il rango di segno di una matrice A con + 1, -1 voci è il rango minimo (sopra i reali) di una matrice B che ha lo stesso modello di segno di A (cioè per tutti ). Questa nozione è importante nella complessità della comunicazione e nella teoria dell'apprendimento.i , $A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

La mia domanda è: ci sono algoritmi noti (tempo sub-esponenziale) che approssimano il rango di segno di una matrice entro un fattore ?$o(n)$

(Sono consapevole del limite inferiore di Forster sul rango di segno in termini di norma spettrale, ma questo non produce un rapporto di approssimazione migliore di in generale.)$\Omega(n)$

Credo che questa sia una domanda aperta.

Lee e Schraibman in "Un algoritmo di approssimazione per il rango di approssimazione" mostrano che il rango di approssimazione può essere approssimato a un fattore costante da un algoritmo di tempo polinomiale. Per fare ciò, mettono in relazione una quantità di programmazione semidefinita con il rango di approssimazione, dove α è un parametro finito maggiore di 1. Portare α al limite dell'infinito produce il rango di segno ma il loro risultato non dà nulla in questo ambientazione.$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

$O(n/\log n)$$d$$S$

• $M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• $S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$