Riesci a identificare la somma di due permutazioni nel tempo polinomiale?

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Di recente sono state poste due domande su cs.se che erano correlate o avevano un caso speciale equivalente alla seguente domanda:

Supponiamo di avere una sequenza di numeri tale che Scomporre nella somma di due permutazioni, e , di , in modo che . $a_1, a_2, \ldots a_n$ $n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$ $\pi$ $\sigma$ $1 \dots n$ $a_i = \pi_i + \sigma_i\,$

Ci sono alcune condizioni necessarie: se gli sono ordinati in modo che , allora dobbiamo avere $a_i$ $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq k (k + 1) .

$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$

Tuttavia, queste condizioni non sono sufficienti. Dalla risposta a questa domanda math.se che ho posto, la sequenza 5,5,5,9,9,9 non può essere scomposta come la somma di due permutazioni (si può vedere questo usando il fatto che sia 1 che 5 possono solo essere accoppiato con 4).

Quindi la mia domanda è: qual è la complessità di questo problema?

— Peter Shor
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A proposito, mi è venuta in mente una semplice variazione e non sono sicuro della sua complessità. Riesci a identificare la somma libera in virgola fissa di due permutazioni in tempo polinomiale? (Richiediamo che le due permutazioni non siano d'accordo in ciascuna posizione, ad esempio per tutti )

π_{i} \neq σ_{i}

$\pi_i \ne \sigma_i$

i

$i$

— Mohammad Al-Turkistany,

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No, non è possibile identificare la somma di due permutazioni in tempo polinomiale a meno che P = NP. Il tuo problema è NP-completo poiché la versione della decisione del tuo problema è equivalente al problema NP-completo - Corrispondenza numerica con somme target: $2$

Input: sequenza di di numeri interi positivi, , per $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$ $1 \le a_i \le 2n$ $1 \le i \le n$

Domanda: Esistono due permutazioni e tali che per ? $\psi_1$ $\psi_2$ $\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$ $1\le i \le n$

Nel riferimento, è stata dimostrata una variante severamente limitata di NUMERICAL 3-DIMENSIONAL MATCHING (RN3DM) fortemente NP-completa.

RN3DM, Dato un multiset u_1,. di numeri interi e un numero intero tale che , esistono due permutazioni e tali che , per ? $U = \{u_1, . . . , u_n\}$ $e$ $\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$ $\lambda$ $\mu$ $u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$ $j = 1, . . . , n$

C'è una facile riduzione da RN3DM a -Numerical Matching con il problema delle somme target: data un'istanza di RN3DM. Costruiamo l'istanza corrispondente creando per $2$ $a_i= e-u_i$ $1 \le i \le n$

W. Yu, H. Hoogeveen e JK Lenstra. Ridurre al minimo la capacità di produzione in un negozio di flusso a due macchine con ritardi e operazioni a tempo unitario è NP-difficile . Journal of Scheduling, 7: 333–348, 2004

MODIFICA 1 ottobre : il tuo problema si chiama SOMME DI PERMUTAZIONE. È elencato dal 1998 in OPEN PROBLEMS IN OPTIMIZATION COMBINATORIAL di Steve Hedetniemi.

— Mohammad Al-Turkistany
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Grazie per la risposta. Ho risposto a uno dei problemi su cs.se che ha ispirato questo (che non era in una forma con risposta diretta dal tuo riferimento), ma penso che dovresti avere la prima possibilità di rispondere al secondo poiché la risposta è data nel tuo riferimento.

— Peter Shor,

Grazie mille Peter. Sono contento di essere stato in grado di aiutarti. Penso che otterrai una risposta migliore. Quindi, per favore, vai avanti e rispondi anche a questa domanda.

— Mohammad Al-Turkistany,

Ecco la dichiarazione del problema come appariva nella pagina Web sopra: PERMUTATION SUMS [Cheston, 198X] ISTANZA: Un array A [1..n] di numeri interi positivi. DOMANDA: Esistono due permutazioni r e s degli interi positivi {1,2, ..., n} tale che per 1 <= i <= n, r (i) + s (i) = A [i] ?

— Mohammad Al-Turkistany,

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D'altra parte, Marshall Hall ha dimostrato che è possibile identificare facilmente la differenza di due permutazioni.

— alci anonime
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Il teorema di Marshall Hall si applica anche alla somma, ma sia la differenza che la somma devono essere calcolate modulo per applicare il suo risultato. Oltre , sia la somma che la differenza sono NP-complete.

n

$n$

Z

$\mathbb{Z}$

— Peter Shor,

3

@PeterShor Per completezza, si prega di pubblicare il proprio commento come risposta separata fornendo uno schizzo di prova della completezza NP dell'identificazione della differenza di due permutazioni.

— Mohammad Al-Turkistany,

3

Per completezza: supponiamo di avere due permutazioni e . Abbiamo quindi è anche una permutazione. Ora, se è il multiset , allora è il multiset . Ad esempio, non può essere rappresentato come una differenza di due permutazioni perché non è la somma di due permutazioni.

ϕ

$\phi$

π

$\pi$

\bar{π} (i) = n + 1 - π (i)

$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$

ϕ + π

$\phi+\pi$

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$

ϕ - \bar{π}

$\phi-\bar{\pi}$

{x_{1} - (n + 1), x_{2} - (n + 1), \dots, x_{n} - (n + 1)}

$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$

{- 2, - 2, - 2, 2, 2, 2}

$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$

{5, 5, 5, 9, 9, 9}

$\{5,5,5,9,9,9\}$

— Peter Shor,