Esiste un legame nascosto tra l'esistenza di insiemi non numerabili e l'indecidibilità del problema di arresto?

Poiché entrambe le prove fanno uso dell'argomento diagonale, mi chiedo se esiste un legame oscuro tra l'esistenza di insiemi infiniti non numerabili e l'indecidibilità del problema di arresto. Il problema dell'arresto sarebbe decidibile se tutti gli insiemi fossero numerabili?

halting-problem

— Lenar Hoyt
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Sì, l'argomento diagonale!

— Mahdi Cheraghchi,

@MCH Il mio pensiero era che ci fosse forse una diversa caratterizzazione oltre all'argomento diagonale che collega entrambi. Questa domanda è forse troppo sfocata per SE.

— Lenar Hoyt,

Questo può essere un collegamento parziale: chiaramente, l'insieme di tutte le lingue su un dato alfabeto non è numerabile. Tuttavia, l'insieme di tutte le macchine di Turing è numerabile. Ciò implica direttamente l'esistenza di problemi indecidibili. Tuttavia, questo ragionamento non implica nulla riguardo al problema dell'arresto.

— 042

Esistono certamente modelli teorici di insiemi di ZFC in cui tutti gli insiemi sono numerabili (anche se non all'interno del modello), ma il problema dell'arresto è sempre indecifrabile. Vedi questa domanda MathOverflow .

— Peter Shor,

Per favore, per favore, per favore, dì indecidibilità da ora in poi.

— Vijay D,

Non è un collegamento nascosto ma è stato reso esplicito usando il linguaggio della teoria delle categorie e anche una domanda molto naturale da porre e studiare. C'è un bel po 'di materiale sull'argomento.

Domanda di teoria CS che chiede la stessa cosa
Il blog post di Andrej Bauer sui teoremi a virgola fissa e il teorema di Cantor.
Un approccio universale a paradossi autoreferenziali, incompletezza e punti fissi , Noson Yanofsky, 2003. Ti offre una delicata introduzione al documento di Lawvere, di seguito.
Argomenti diagonali e categorie chiuse cartesiane , F. William Lawvere, ripubblicazione del 2006 di un articolo del 1969 che precisava queste connessioni.
Incompletezza in un contesto generale , John Bell, 2007
Da Lawvere a Brandenburger-Keisler: forme interattive di diagonalizzazione e autoreferenzialità , Samson Abramsky e Jonathan Zvesper, 2010. Estensione degli argomenti di Lawvere ai risultati di impossibilità teorica del gioco.

— Vijay D
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