Esiste una limitazione naturale della logica VO che cattura P o NP?

La carta

• Lauri Hella e José María Turull-Torres, Query di calcolo con logiche di ordine superiore , TCS 355 197–214, 2006. doi: 10.1016 / j.tcs.2006.01.009

propone la logica VO, la logica di ordine variabile. Ciò consente la quantificazione degli ordini rispetto alle variabili. VO è abbastanza potente e può esprimere alcune query non calcolabili. (Come sottolineato da Arthur Milchior in basso, in realtà cattura l'intera gerarchia analitica .) Gli autori mostrano che il frammento di VO ottenuto consentendo solo una quantificazione universale limitata sulle variabili dell'ordine esprime esattamente tutte le domande ce. VO consente alle variabili di ordine di variare sui numeri naturali, quindi limitare le variabili di ordine è chiaramente una condizione naturale da imporre.

Esiste un (bello) frammento di VO che cattura P o NP?

Come analogia, nella classica logica del primo ordine che consente la quantificazione su insiemi di oggetti fornisce una logica più potente chiamata logica di secondo ordine o SO. SO cattura l'intera gerarchia polinomiale ; questo di solito è scritto come PH = SO. Esistono forme limitate di SO che acquisiscono importanti classi di complessità: NP = SO, P = SO-Horn e NL = SO-Krom. Questi sono ottenuti imponendo restrizioni sulla sintassi delle formule consentite.$\exists$

Quindi ci sono modi semplici per limitare SO per ottenere classi interessanti. Vorrei sapere se esistono simili restrizioni dirette di VO che sono all'incirca il giusto livello di espressività per P o NP. Se tali restrizioni non fossero note, sarei interessato a suggerimenti per probabili candidati o ad alcuni argomenti per cui è improbabile che esistano tali restrizioni.

Ho controllato i (pochi) documenti che citano questo, e ho verificato le frasi ovvie su Google e Scholar, ma non ho trovato nulla di ovviamente rilevante. La maggior parte degli articoli che trattano di logiche più potenti del primo ordine non sembrano avere a che fare con restrizioni per ridurre il potere nel regno dei calcoli "ragionevoli", ma sembrano contenti di abitare nell'universo delle classi aritmetiche e analitiche. Sarei felice con un puntatore o una frase non ovvia su cui cercare; questo potrebbe essere ben noto a qualcuno che lavora in logiche di ordine superiore.

Nota: questo non risponde realmente alla domanda, sono solo alcuni commenti pubblicati come risposta. :)

$\exists$$PH$$P$$NP$

la presenza di un quantificatore illimitato è sufficiente per acquisire ce set?

Il problema è che probabilmente vuoi che il linguaggio sia privo di simboli extra come uguaglianza, addizione, moltiplicazione (giusto?), Se li avessimo allora con il teorema MRDP, le formule di Diophantine (quantificatori esistenziali del primo ordine di fronte a un'uguaglianza di due polinomi) catturerebbe set di ce. Se non consentiamo questi simboli nella lingua, il problema è più complicato, si possono usare quantificatori di ordine superiore per definirli, ma ciò aumenterebbe la complessità del quantificatore. Quindi, se voglio dare una breve risposta alla tua domanda su un singolo quantificatore, non lo so.

$AC^0$$AC^0$$c$$e$$x$

Alcuni commenti aggiuntivi:

$AC^0$

Per informazione, VO è in effetti molto più potente di quello che affermi; contiene l'intera gerarchia analitica (quindi anche l'intera gerarchia aritmetica). Il risultato non è stato pubblicato, né è stato inviato in nessun luogo, ma è possibile trovarlo sulla mia pagina, www.milchior.fr/ho.pdf sezione 7 pagina 47.

$\forall i \forall X^i\forall j\exists Y^j (X^i=Y^j)$$\forall i \forall X^i\forall i\exists Y^i (X^i=Y^i)$$i$$X$$^i$$X$

$\phi(i)$$i$$k$$i>k$$\phi(i)$$k$$\phi(i)$$\forall i \phi(i)$$\forall i < k \phi(i)$

Altrimenti, puoi certamente frenare il VO limitando l'ordine massimo accettato; ma poi ottieni un linguaggio di "ordine superiore" (HO), e questo probabilmente non è quello che vuoi.

Per rispondere al tuo commento, suppongo che dovrei fare un'altra risposta, parlando solo su Krom e Horn (forse dovrei fare una domanda su quelli a CSTheory)

Ti suggerisco di leggere la sezione 5.3 pagina 34 del mio articolo sul problema che ho incontrato su Horn e Krom nella logica dell'Alto Ordine. Incontrerai lo stesso problema nell'ordine variabile (che è chiaramente un superset di ordine elevato).

Non so se ci hai prestato attenzione, ma SO (krom) è uguale a P quando il primo ordine è universale; in effetti puoi esprimere il problema NP-completo se aggiungi una variabile esistente del primo ordine. (Non ricordo l'esempio che ho avuto prima, posso provare a cercarlo se lo vuoi)

Non so che cosa diventerebbe questa restrizione sintattica per la logica di ordine elevato o variabile ... il mio punto è solo che dovresti anche pensare a un buon modo per frenare i quantificatori, perché limitare la sola parte priva di quantificatore non è utile ( almeno per le formule di Krom)