Problemi diretti NP-hard sui DAG

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La larghezza dell'albero misura la vicinanza di un grafico a un albero. Numerosi problemi NP-difficili sono trattabili su grafici con larghezza dell'albero limitata. Se un problema rimane NP-duro sugli alberi, la larghezza dell'albero non può salvarci. Questa era la motivazione dietro una delle mie precedenti domande che chiedevano problemi NP-difficili sugli alberi.

Esistono diverse versioni dirette della larghezza dell'albero che misurano la vicinanza di un grafico diretto a un grafico aciclico diretto (DAG). Quali sono alcuni problemi diretti che rimangono NP-difficili nei DAG? Un problema diretto fa un uso essenziale delle direzioni dei bordi. Ad esempio, il percorso hamiltoniano è un problema diretto mentre non lo è la copertura dei vertici. Una delle risposte alla mia domanda precedente ha dato una ricetta generale per generare problemi che sono difficili per gli alberi. Esiste una ricetta simile per i DAG?

np-hardness directed-acyclic-graph

— Shiva Kintali
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Questo mira solo a rispondere parzialmente alla prima domanda del post:

Quali sono alcuni problemi diretti che rimangono NP-difficili nei DAG?

In [1], vengono forniti alcuni problemi naturali sui grafici diretti che rimangono NP-difficili sui DAG. La motivazione del documento è quella di trovare una "buona" misura simile alla larghezza di un albero per i digrafi. Sostengono che lo svantaggio di molte misure per i digrafi è che sono costanti per i DAG, ma molte controparti dirette di problemi naturali rimangono NP-difficili sui DAG. Per ulteriori informazioni su questo argomento, vedere anche [2] e i riferimenti di questi articoli.

[1] Robert Ganian, Petr Hlinený, Joachim Kneis, Alexander Langer, Jan Obdrzálek, Peter Rossmanith: Misure sulla larghezza del digrafo in algoritmi parametrizzati. IWPEC 2009: 185-197. Versione completa

[2] Robert Ganian, Petr Hlinený, Joachim Kneis, Daniel Meister, Jan Obdrzálek, Peter Rossmanith, Somnath Sikdar: Esistono buone misure di larghezza della digraph ?. IPEC 2010, per apparire. arXiv

— Serge Gaspers
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È noto che diversi problemi di routing sono NP-difficili e persino difficili da approssimare a fattori polinomiali nei DAG. Questi includono problemi come i percorsi massimi disgiunti e la minimizzazione della congestione. Vedi gli articoli di Andrews, Chuzhoy, Khanna, Zhang e altri per ulteriori indicazioni.

— Chandra Chekuri
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$\varphi:=\exists C_1 C_2 C_3 [\forall x (C_1 x \lor C_2 x \lor C_3 x) \land \bigwedge_{i=1,2,3}\forall x,y(\neg C_i x \lor \neg C_i y\lor \neg E(x,y))]$ $G$ $G'$ $E(x,y)$ $\varphi$ $E(x,y)\lor E(y,x)$ $G\models\varphi\iff G'\models\varphi'$

— Regolarità
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Sembra che questo problema non stia utilizzando le direzioni dei bordi. Sto cercando problemi diretti.

— Shiva Kintali,

@Shiva: perché questo non soddisfa i tuoi criteri per un problema diretto?

— András Salamon,

@ András: la colorazione grafica si preoccupa della presenza di un bordo (u, v). Non importa se il bordo è diretto da u a v o da v a u. D'altra parte, Hamiltonian Path utilizza le direzioni dei bordi. È possibile modificare le direzioni di alcuni bordi e convertire un'istanza YES in un'istanza NO.

— Shiva Kintali,

@Shiva: Quindi vuoi una proprietà che è espressa da una formula non simmetrica (invariante sotto permutazione di variabili)?

— András Salamon,

@ András: esattamente.

— Shiva Kintali,

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Il famoso problema OPEN [8] dalla lista di Garey e Johnson va oltre P, ma è aperto per essere dimostrato di essere NP-C. Questo problema è nel DAG. Ogni round è possibile eliminare al massimo tre vertici che non hanno un bordo in entrata. Decidi se tutti i vertici del DAG potrebbero essere eliminati in K round? APERTO dagli anni '70.

— Peng Zhang
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