Una funzione booleana che non è costante su sottospazi affini di dimensioni sufficientemente grandi

Sono interessato a una funzione booleana esplicita con la seguente proprietà: se è costante su un sottospazio affine di , quindi la dimensione di questo sottospazio è . $f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$ $f$ $\\{0,1\\}^n$ $o(n)$

Non è difficile dimostrare che una funzione simmetrica non soddisfa questa proprietà considerando un sottospazio . Qualsiasi ha esattamente 's e quindi è costante il sottospazio della dimensione . $A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$ $x \in A$ $n/2$ $1$ $f$ $A$ $n/2$

Cross-post: /mathpro/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen

— Alexander S. Kulikov
fonte

L'intervallo di f deve essere {0,1} invece di {0,1} ^ n? Altrimenti penso che la risposta sia banale (f può essere la mappatura dell'identità).

— Tsuyoshi Ito,

Oh, mi dispiace, l'intervallo è {0,1}, ovviamente. Fisso.

— Alexander S. Kulikov,

Poiché chiedi una costruzione esplicita, immagino che un metodo probabilistico produca una prova esistenziale. Un'ipotesi selvaggia: cosa succede se identifichiamo {0,1} ^ n con il campo finito di ordine 2 ^ n e lasciamo f (x) = 1 se e solo se x corrisponde a un quadrato nel campo finito? L'insieme di residui quadratici modudo un primo spesso sembra casuale, e ora abbiamo bisogno di un insieme di vettori che sembra casuale, quindi usare l'insieme dei quadrati in un campo finito suona come un candidato naturale. (Non l'ho mai capito affatto, e questo potrebbe essere lontano dal segno.)

— Tsuyoshi Ito

Cross pubblicato su MO . Aggiungi un link alla tua domanda quando effettui il cross-posting.

— Kaveh,

Si noti inoltre che il crossposting simultaneo è scoraggiato .

— Tsuyoshi Ito,

Risposte:

Gli oggetti che stai cercando sono chiamati dispersori affini senza semi con un bit di output. Più in generale, un dispersore senza semi con un bit di output per una famiglia di sottoinsiemi di è una funzione tale che su qualsiasi sottoinsieme , la funzione non è costante. Qui, ti interessa che sia la famiglia dei sottospazi affini $\mathcal{F}$ $\{0,1\}^n$ $f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $S \in \mathcal{F}$ $f$ $\mathcal{F}$

Ben-Sasson e Kopparty in "affini Spandiconcime dal subspazio polinomi" costruire esplicitamente dispersori affini senza semi per sottospazi di dimensione almeno . I dettagli completi del dispersore sono un po 'troppo complicati per essere descritti qui. $6n^{4/5}$

Un caso più semplice anche discusso nel documento è quando vogliamo un dispersore affine per sottospazi di dimensione . Quindi, la loro costruzione osserva come e specifica che il dispersore deve essere , dove indica la mappa di traccia: $2n/5+10$ ${\mathbb{F}}_2^n$ ${\mathbb{F}}_{2^n}$ $f(x) = Tr(x^7)$ $Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$ . Una proprietà chiave dellamappa di tracciaè che. $Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$ $Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$

— arnab
fonte

Grazie mille, Arnab! Sembra che sia esattamente quello di cui ho bisogno, ma ovviamente ho bisogno di tempo per leggere il documento. =)

— Alexander S. Kulikov il

Una registrazione video di un discorso di Swastik sul giornale è qui: video.ias.edu/csdm/affinedispersers

— arnab

Grazie ancora, Arnab! Spero che il video mi aiuti a capire questo documento (dopo aver letto le prime pagine vedo che è abbastanza complicato).

— Alexander S. Kulikov,

Una funzione che soddisfa qualcosa di simile a (ma molto più debole di) di ciò che vuoi è il determinante di una matrice su . Si può dimostrare che il determinante di una matrice non è costante su qualsiasi sottospazio affine di dimensione almeno . $\mathbb{F}_2$ $n\times n$ $n^2 - n$

— Ramprasad
fonte

Grazie Ramprasad! Questo è davvero molto più debole di quanto io voglia. Ma potresti, per favore, dare un link?

— Alexander S. Kulikov,

Non conosco un posto in cui questo è scritto, ma la prova non è difficile. Per provare la rivendicazione di cui sopra, è sufficiente dimostrare che se si prende il determinante di una matrice

con variabili in ogni voce, il polinomio è un modulo

non zero funzioni lineari. Notare che passare a una funzione lineare significa semplicemente sostituire una delle voci con una funzione lineare delle altre variabili. Quindi, vogliamo dimostrare che la sostituzione di solo

voci non può uccidere il determinante. Dovrebbe essere facile vedere che con solo permutazioni, possiamo spostare tutte queste voci

sopra la diagonale. [cntd]

n \times n

$n\times n$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

— Ramprasad,

Una volta che tutte queste voci sono spostate sopra la diagonale, è ovviamente il caso che il determinante rimanga ancora diverso da zero (poiché tutte le voci sottostanti e compresa la diagonale sono indipendenti, possiamo rendere la diagonale inferiore completamente zero e la diagonale essere elementi diversi da zero per dare un determinante diverso da zero). L'unico trucco qui è che tutte le voci

possono essere spostate sopra la diagonale.

n - 1

$n-1$

— Ramprasad,

Grazie Ramprasad! Questo non è davvero difficile da vedere.

— Alexander S. Kulikov,