Possiamo decidere se un permanente ha un termine unico?

Supponiamo di avere una matrice n per n, M, con voci intere. Possiamo decidere in P se esiste una permutazione tale che per tutte le permutazioni π ≠ σ abbiamo Π M i σ ( i ) ≠ Π M i π ( i ) ?$\sigma$$\pi\ne\sigma$$\Pi M_{i\sigma(i)}\ne \Pi M_{i\pi(i)}$

Osservazioni. Naturalmente è possibile sostituire il prodotto con una somma, il problema rimane lo stesso.

Se la matrice può contenere solo 0/1 voci, otteniamo il problema Bipartite-UPM che è persino in NC.

Modifica: Decidere se il termine più piccolo è unico è NP-difficile se consentiamo riduzioni casuali. In realtà, ho originariamente voluto porre questa domanda, perché avrebbe aiutato a risolvere questo uno. Ora si è scoperto che questo è NP-completo, quindi lasciatemi abbozzare la riduzione del nostro problema. Immagina che l'ingresso sia una matrice zero-one (possiamo supporre che) e sostituisci le voci zero con numeri reali casuali tra 2 e 2 + 1 / n. Ora in questa nuova matrice con alta probabilità il termine più piccolo è unico se e solo se la matrice originale è permutabile alla forma triangolare superiore.

Modifica: domande simili:

In un grafico ponderato per i bordi, esiste un ciclo hamiltoniano con un peso unico?

Se abbiamo un CNF con pesi assegnati ad ogni variabile / assegnazione soddisfacente, esiste un incarico unico soddisfacente per il peso?

Questi sono ovviamente almeno NP-difficili. Questi problemi sono equivalenti all'originale o sono più difficili?

Bel problema! Non è difficile dare una riduzione dimostrando che, se si potesse risolvere il problema, si potrebbe anche risolvere il seguente problema, chiamarlo SOMMA ISOLATA SOTTOSET:

Dati interi a ₁ , ..., a _n , esiste un sottoinsieme S di a _i la cui somma non è condivisa da nessun altro sottoinsieme?

La riduzione funziona innanzitutto riducendo ISUMATED SUBSET SUM a ISOLATED PERFECT MATCHING, dove, dato un grafico bipartito ponderato G, vogliamo trovare un abbinamento perfetto il cui peso non è condiviso da nessun altro abbinamento perfetto. Questa riduzione è semplice: per ogni i, creare un sottografo completo 2x2 G _i in G, in modo tale che quale dei due possibili abbinamenti che scegliamo per G _i codifichi la nostra scelta se un _i sia o meno nel set S.

Quindi, ridurre ISOLATO PERFETTO ABBINAMENTO al problema come segue:

1. Per tutti i, j, se il bordo (i, j) esiste e ha peso w _ij , imposta M _ij : = exp (w _ij ). (Questo trasforma le somme in prodotti.)
2. Per tutti i, j, se il bordo (i, j) non esiste, imposta M _ij : = 0.
3. Rilascia M per assicurarti che ci siano due o più permutazioni π tale che Π M _{i, π (i)} = 0. (Questo esclude soluzioni spurie che non corrispondono ad alcun abbinamento perfetto in G.)

Ora, ISOLATED SUBSET SUM sembra certamente che sia almeno NP-difficile, e forse è anche più difficile di così (il limite superiore evidente è solo Σ ₂ P)! Inoltre, forse si potrebbe dimostrare che ISOLATED SUBSET SUM è NP-hard usando una riduzione randomizzata in stile Valiant-Vazirani. Questa, tuttavia, è una sfida che lascio a qualcun altro ...