Quali sarebbero le conseguenze di PH = PSPACE?

Un recente trattasi (v Conseguenze di NP = PSPACE ) ha chiesto per le conseguenze "Nasty" di $NP=PSPACE$ . Elencare le risposte non poche conseguenze crollo, tra cui $NP=coNP$ e altri, fornendo un sacco di ragioni per credere $NP\neq PSPACE$ .

Quali sarebbero le conseguenze del collasso un po 'meno drammatico ? $PH=PSPACE$

cc.complexity-theory complexity-classes conditional-results

— Andras Farago
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Sono l'unica persona annoiata dall'ondata di domande "Conseguenze di

" in questi giorni? Certo, possono portare a risposte interessanti, ma la domanda dovrebbe almeno richiedere conseguenze inaspettate , sorprendenti , ecc.

A = B

$A=B$

— Sylvain,

@Sylvain: alcune di queste sono in realtà vecchie domande che sono sorte dalla morte perché ho aggiunto il tag "risultati condizionali" a loro. Puoi quindi scegliere di ignorare quel tag per rendere meno visibili tali domande.

— András Salamon,

Risposte:

collassa. A problema -complete deve essere in qualche livello di , dire che è . Poiché è -complete -complete (per ipotesi), . $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_k P}$ $\mathsf{PSPACE}$ $=\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{\Sigma_k P}$

— Joshua Grochow
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Non è

chiuso sotto complemento e bassa per sé? Questo è

Quindi ciò non implicherebbe

P S P A C E

${\bf PSPACE}$

P S P A C E

${\bf PSPACE}$

{P S P A C E}^{P S P A C E}

${\bf PSPACE}^{\bf PSPACE}$

N P = C o N P

${\bf NP} = {\bf CoNP}$

N P = P S P A C E

${\bf NP} ={\bf PSPACE}$

— Tayfun paga il

@TayfunPay:

$\:$ Non vedo come si possa dimostrare una tale implicazione.

$\;\;\;\;$

@TayfunPay: Nota che

- se considerata come la singola classe definita dall'alternanza di poly-time TM con alternanze

- è anche chiusa sotto complemento e auto-bassa (anche senza supporre che sia uguale a

P H

$\mathsf{PH}$

O (1)

$O(1)$

P S P A C E

$\mathsf{PSPACE}$

— Joshua Grochow,

@JoshuaGrochow L'esistenza di un PH-Complete non implica che

collassi? Ricordo qualcosa del genere nel vecchio libro di Papadimitriou. Lo controllerò stasera.

P H

${\bf PH}$

— Tayfun paga il

@TayfunPay: Sì, usando la stessa prova della mia risposta (ma questo non sembra, e apparentemente non può, dire a quale livello crolla sotto quell'assunto).

— Joshua Grochow,

Implicherebbe comunque importanti separazioni delle classi di complessità. Ad esempio, sarebbe seguito (Se allora ) $\mathrm{LOGSPACE \neq NP}$ $\mathrm{LOGSPACE = NP}$ $\mathrm{LOGSPACE = PH}$

Anche implicherebbe da Karp-Lipton. Ne segue che ha circuiti di polisize se e solo se fa. E, naturalmente, avremmo se e solo se . In ogni caso, le conseguenze della soluzione di $\mathrm{NP \subseteq P/poly}$ $\mathrm{PSPACE = \Sigma_2 P}$ $\mathrm{NP}$ $\mathrm{PSPACE}$ $\mathrm{P = NP}$ $\mathrm{P = PSPACE}$ $\mathrm{NP}$ i problemi sarebbero aumentati in modo significativo.

— Ryan Williams
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Infatti, anche NL ≠ NP segue perché

N P^{N L \cap c o - N L} = N P

$NP^{NL\cap co-NL}=NP$

— domotorp,

Poiché le risposte sottolineano, sarebbe ancora avere conseguenze significative, anche se non così numerosi e drammatici quelli come . $PH=PSPACE$ $NP=PSPACE$

Girando la questione sulla sua testa, potrebbe essere visto come "evidenze empiriche" per sostenere . Dopotutto, se , le due affermazioni ( e ) devono avere le stesse conseguenze. Dato che la seconda ipotesi ha conseguenze note notevolmente più forti e più forti, che possono essere viste come prove empiriche a supporto del fatto che i lati di sinistra nelle equazioni devono essere diversi, ovvero $NP\neq PH$ $NP=PH$ $PH=PSPACE$ $NP=PSPACE$ $NP\neq PH$ (which, in turn, is equivalent to $NP\neq coNP$ ).

— Andras Farago
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