Separazioni di classi di complessità senza teoremi di gerarchia

I teoremi di gerarchia sono strumenti fondamentali. Un buon numero di essi è stato raccolto in una domanda precedente (vedi Quali gerarchie e / o teoremi di gerarchia conosci? ). Alcune separazioni delle classi di complessità seguono direttamente dai teoremi della gerarchia. Esempi di separazioni così conosciute: $L\neq PSPACE$ , $P\neq EXP$ , $NP\neq NEXP$ , $PSPACE\neq EXPSPACE$ .

Tuttavia, non ogni separazione deriva da un teorema di gerarchia. Un esempio molto semplice è . Anche se non sappiamo se uno di essi contenga l'altro, sono comunque diversi, perché è chiuso rispetto alle trasformazioni polinomiali, mentre non lo è. $NP\neq E$ $NP$ $E$

Quali sono alcune separazioni di classi di complessità più profonde, incondizionate, non relativizzate per classi uniformi che non seguono direttamente un teorema di gerarchia?

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— Andras Farago
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Penso che sia un po 'insolito chiamare

una separazione. Anche la loro disuguaglianza è per ragioni banali e non ci dice nulla di interessante. AFAIK tutte le interessanti separazioni di classi di complessità per grandi classi di complessità si basano su teoremi di gerarchia (e, a sua volta, diagonalizzazione) ad un certo punto.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Kaveh,

È vero, è davvero insolito chiamare

una separazione, poiché vale per ragioni banali. L'ho portato solo per mostrare un semplice esempio in cui non è necessario alcun teorema di gerarchia.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago,

Err, la prova della NP! = E non dipende da un teorema gerarchia! Il modo in cui funziona è che tu prima assumi NP = E, quindi usi le proprietà di chiusura di NP per dedurre tale E = EXP, violando così il Teorema della Gerarchia del Tempo.

— Scott Aaronson,

Grazie, Scott, hai perfettamente ragione.

non era l'esempio giusto. Ne ho pubblicato uno migliore tra le risposte.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago,

Così anche tali disuguaglianze si basano su diagonalizzazione:

. Bello e non così banale dopo tutto.

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— Kaveh,

Risposte:

Mi piacerebbe essere mostrato in modo sbagliato, ma non credo che attualmente ci siano limiti inferiori uniformi che non sono in definitiva basati su uno dei teoremi della gerarchia. La nostra attuale comprensione di come trarre vantaggio dall'uniformità è davvero piuttosto limitata in questo senso.

D'altra parte, ci sono molti limiti inferiori uniformi che non seguono direttamente dai teoremi della gerarchia, ma usano un teorema della gerarchia in combinazione con altri trucchi, tecniche e risultati intelligenti, ad esempio:

[Hopcroft-Paul-Valiant]. Dimostrano che (la parte non diagonale della loro prova), e quindi usano il fatto che $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ in combinazione con la gerarchia spaziale. Il loro risultato + la gerarchia spaziale implica anche . $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
Scambi di spazio-tempo per la soddisfazione (vedere, ad esempio, le introduzioni di Buss-Williams e riferimenti in essa)
[Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter]. Utilizza una simulazione non banale di qualsiasi macchina deterministica a tempo superlineare da una macchina a quattro alternanze più veloce, in combinazione con la gerarchia temporale deterministica. $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
Limiti inferiori uniformi sul permanente [ Allender , Allender-Gore , Koiran-Perifel ]
[Williams] (anche se tecnicamente si tratta di un limite inferiore non uniforme, utilizza un mucchio di idee intelligenti in combinazione con la gerarchia temporale non deterministica) $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— Joshua Grochow
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La separazione di Smolensky è qualcosa che stavi cercando? $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— Arne
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Grazie a voi, che è un bel risultato, ma cerco per le separazioni di

classi, non classi circuito.

u n i f o r m

$uniform$

— Andras Farago,

@AndresFarago: l'uniforme AC ^ 0 è anche correttamente inclusa nell'uniforme TC ^ 0.

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

Penso che la non uniformità nelle prove sia secondaria al fatto che si tratta di classi piuttosto piccole in cui abbiamo una buona comprensione combinatoria / algebrica di esse. Cioè li capiamo abbastanza bene per costruire direttamente un oggetto che non è in loro. Dove sono per le classi più grandi non esiste una tale comprensione e quindi l'unico metodo che conosciamo è fare la diagonalizzazione contro l'intera classe per costruire tali oggetti.

— Kaveh,

$P_{P-comp}$

$P_{P-comp}$ è la classe di lingue accettate nel tempo polinomiale $\mu$ -una media per ogni distribuzione calcolabile del tempo polinomiale (calcolabile-P) $\mu$ . Naturalmente, $P\subseteq P_{P-comp}$ sostiene, dal momento che l'esistenza di un algoritmo polivalente deterministico implica che rimanga efficiente in media, indipendentemente dalla distribuzione dell'input. Tuttavia, la condizione di esecuzione nel tempo polinomiale medio per ogni distribuzione di input calcolabile P sembra abbastanza forte da sospettare $P_{P-comp}=P$ .

Sorprendentemente, Schuler dimostra che esiste una lingua $L\in P_{P-comp}$ , che è completo per Turing $E$ , questo è,

E \subseteq P^{P_{P - c o m p}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$ Ciò implica la separazione incondizionata

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$ . Mentre quest'ultimo usa anche il fatto

E \neq P

$E\neq P$ , che deriva dal Teorema della Gerarchia del Tempo, la parte del romanzo (*) si basa su diversi strumenti: oltre alla diagonalizzazione, impiega una misura limitata dalle risorse e la complessità di Kolmogorov.

Riferimento:

[1] R. Schuler, "La chiusura della tabella della verità e la chiusura di Turing del tempo polinomiale medio hanno misure diverse in SCAD", CCC 1996, pdf

— Andras Farago
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