Esprimendo determinante come permanente

Uno dei maggiori problemi nel TCS è il problema di esprimere un permanente come determinante. Stavo leggendo il documento di Agrawal Determinante contro permanente e in un paragrafo afferma che il problema inverso è facile.

È facile vedere che il determinante di una matrice può essere espressa come il permanente di un relativo matrice elementi sono 0, 1, o s e che è di dimensione (impostare voci di X tale che det det e il prodotto corrispondente a ogni permutazione che ha un ciclo ancora è zero). $X$ $Xˆ$ $x_{i,j}$ $O(n)$ $Xˆ$ $X$

Prima di tutto, non credo che le variabili 0, 1 e siano sufficienti perché mancheremmo termini negativi. Ma anche se consentissimo anche le variabili -1 e , non vedo perché la crescita dimensionale possa essere resa lineare. Qualcuno potrebbe spiegarmi la costruzione? $x_{i,j}$ $-x_{i,j}$

— Farnak
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Nota che dice

, non

fornisce i segni necessari.

x_{i j} s

$x_{ij} s$

x_{i j}

$x_{ij}$

s = \pm 1

$s = \pm 1$

— Geoffrey Irving

@GeoffreyIrving, quell'interpretazione non mi sembra giusta ... per quanto ne so, "s" è composta in modalità testo, non in modalità matematica; "s" non è mai definita come variabile; e "s" non è indicizzato da nulla. Penso che indichi solo il plurale.

— usul

Penso che @usul sia corretto. sta usando la 's' come plurale (cioè molti

x_{i j}

$x_{ij}$

— Suresh Venkat

Dovrei sottolineare che i termini negativi associati al segno della permutazione sono trattati dal suo commento che dice che hai impostato la matrice in modo che i termini associati ai cicli pari si riducano a zero.

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: sembra più facile a dirsi che a farsi (almeno per me). Potresti dimostrarlo, per esempio, una matrice 4x4?

— Farnak,

Penso che questo potrebbe essere stato un refuso nel documento di Agrawal. La migliore che io sappia è come scrivere un determinante come proiezione di un permanente di dimensioni , scrivendo il determinante come un programma di ramificazione algebrica (e penso che questo sia attualmente il più noto). Vedi i commenti su questa risposta . $n \times n$ $O(n^3)$

— Joshua Grochow
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Che cos'è un ABP?

— Suresh Venkat,

@SureshVenkat: ho aggiornato la risposta con il loro nome completo e un link ad ulteriori riferimenti. Se hai domande sugli ABP, non esitare a postare qui o inviarmi un'e-mail.

— Joshua Grochow,