Esprimendo determinante come permanente


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Uno dei maggiori problemi nel TCS è il problema di esprimere un permanente come determinante. Stavo leggendo il documento di Agrawal Determinante contro permanente e in un paragrafo afferma che il problema inverso è facile.

È facile vedere che il determinante di una matrice può essere espressa come il permanente di un relativo matrice X i cui elementi sono 0, 1, o x i , j s e che è di dimensione O ( n ) (impostare voci di X tale che det X = det X e il prodotto corrispondente a ogni permutazione che ha un ciclo ancora è zero).XXˆxi,jO(n)XˆX

Prima di tutto, non credo che le variabili 0, 1 e siano sufficienti perché mancheremmo termini negativi. Ma anche se consentissimo anche le variabili -1 e - x i , j , non vedo perché la crescita dimensionale possa essere resa lineare. Qualcuno potrebbe spiegarmi la costruzione?xi,jxi,j


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Nota che dice , non x i j . s = ± 1 fornisce i segni necessari. xijsxijs=±1
Geoffrey Irving

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@GeoffreyIrving, quell'interpretazione non mi sembra giusta ... per quanto ne so, "s" è composta in modalità testo, non in modalità matematica; "s" non è mai definita come variabile; e "s" non è indicizzato da nulla. Penso che indichi solo il plurale.
usul

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Penso che @usul sia corretto. sta usando la 's' come plurale (cioè molti ). xij
Suresh Venkat

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Dovrei sottolineare che i termini negativi associati al segno della permutazione sono trattati dal suo commento che dice che hai impostato la matrice in modo che i termini associati ai cicli pari si riducano a zero.
Suresh Venkat

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@SureshVenkat: sembra più facile a dirsi che a farsi (almeno per me). Potresti dimostrarlo, per esempio, una matrice 4x4?
Farnak,

Risposte:


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Penso che questo potrebbe essere stato un refuso nel documento di Agrawal. La migliore che io sappia è come scrivere un determinante come proiezione di un permanente di dimensioni O ( n 3 ) , scrivendo il determinante come un programma di ramificazione algebrica (e penso che questo sia attualmente il più noto). Vedi i commenti su questa risposta .n×nO(n3)


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Che cos'è un ABP?
Suresh Venkat,

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@SureshVenkat: ho aggiornato la risposta con il loro nome completo e un link ad ulteriori riferimenti. Se hai domande sugli ABP, non esitare a postare qui o inviarmi un'e-mail.
Joshua Grochow,
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