Teoremi naturali dimostrati solo "ad alta probabilità"?

Ci sono molte situazioni in cui una "prova" randomizzata è molto più semplice di una prova deterministica, l'esempio canonico è il test di identità polinomiale.

Domanda : Esistono "teoremi" matematici naturali in cui è nota una dimostrazione randomizzata ma non una dimostrazione deterministica?

Per "prova randomizzata" di un'affermazione intendo quello $P$

Esiste un algoritmo randomizzato che accetta un input e se è falso produce una prova deterministica di con probabilità almeno . $n > 0$ $P$ $\neg P$ $1-2^{-n}$
Qualcuno ha eseguito l'algoritmo per, diciamo, , e non ha smentito il teorema. $n = 100$

È facile generare istruzioni non naturali che si adattano: basta scegliere una grande istanza di qualsiasi problema in cui è noto solo un algoritmo randomizzato efficiente. Tuttavia, sebbene esistano molti teoremi matematici con "molte prove numeriche", come l'ipotesi di Riemann, non ne conosco nessuna con prove randomizzate rigorose della forma sopra.

— Geoffrey Irving
fonte

@Kaveh: grazie per le correzioni di categoria. Non ero sicuro di cosa metterlo sotto.

— Geoffrey Irving

un'altra direzione, studiando la letteratura "derandomizzazione" (cercando anche un buon sondaggio). il teorema di Reingold relativamente recente (premiato) non è stato un caso di questo (di nuovo prima della dimostrazione)?

— vzn

Bene, qualsiasi problema con una dimostrazione deterministica che poggia sull'ERH (come un tempo era Primes) avrebbe questa proprietà

— Suresh Venkat,

Mi dispiace dirlo, ma non credo che la tua domanda abbia un senso, in quanto non possono esserci dichiarazioni del genere, naturali o meno. Scrivi che N è un numero primo usato per essere un buon esempio ma (ovviamente) c'è sempre stata una prova deterministica anche per la primalità, solo un po 'più a lungo. Inoltre, non riesco a immaginare come definirebbe la probabilità di successo di un algoritmo che dovrebbe confutare un'istruzione fix. Forse vuoi chiedere una prova efficace per una classe di problemi (ovvero, l'input sarebbe P e n e la frase P (n)) ma poi arriviamo alla teoria della complessità e alla definizione di BPP.

— domotorp

domotorp: È vero che (supponendo che l'algoritmo utilizzi un numero limitato di bit casuali) tale prova randomizzata può essere derandomizzata con un certo costo prestazionale. Tuttavia, sto chiedendo degli esempi in cui il costo della prestazione è abbastanza elevato da non aver eseguito fino ad oggi la prova deterministica, mentre la prova randomizzata lo ha fatto. Credo che le definizioni abbiano senso in questo contesto.

— Geoffrey Irving,

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ Questo non è un esempio di ciò che stai chiedendo, ma suggerisce come un tale esempio possa realizzarsi. Alcune identità combinatorie possono essere codificate come identità su polinomi di grado limitato . Se i polinomi sono univariati, per dimostrare l'identità è sufficiente verificarlo su punti. Tuttavia, se i polinomi sono multivariati e il grado è almeno moderatamente grande, il lemma di Scwartz-Zippel potrebbe essere l'unico modo pratico per verificare l'identità. $d$ $d+1$

Per un esempio del caso univariato, consulta questo articolo di Zeilberger, che risolve una domanda di Knuth. Dimostra una dichiarazione sulle statistiche delle permutazioni. Per una permutazione , sia il numero di inversioni di e lasciare che l'indice di $\pi \in S_n$ $\inv(\pi)$ $|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$ $\pi$ $\maj(\pi)$ è la somma di tutti i numeri interi nell'insieme . Zeilberger dimostra che, per tutti gli , la covarianza delle due statistiche è $\pi$ $\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$ $n$

dove tutte le aspettative sono oltre ununiformemente casualein. La prova di Zeilberger è solo una verifica computerizzata pere un'osservazione che l'affermazione equivale a un'identità tra polinomi ingradi al massimo.

E [(inv (π) - E [inv (π)]) \cdot (maj (π) - E [maj (π)])] = \frac{1}{4} (\binom{n}{2}),

$\mathbb{E}[(\inv(\pi) - \mathbb{E}[\inv(\pi)])\cdot(\maj(\pi) - \mathbb{E}[\maj(\pi)])] = \frac{1}{4}{n \choose 2},$

π

$\pi$

S_{n}

$S_n$

n \in {1, 2, 3, 4, 5}

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

n

$n$

4

$4$

— Sasho Nikolov
fonte

Grazie, è un bell'articolo. Mi piace abbastanza la morale.

— Geoffrey Irving,