Conseguenze dell'esistenza di un algoritmo fortemente polinomiale per la programmazione lineare?

Uno dei santi graal della progettazione dell'algoritmo è trovare un algoritmo fortemente polinomiale per la programmazione lineare, ovvero un algoritmo il cui tempo di esecuzione è limitato da un polinomio nel numero di variabili e vincoli ed è indipendente dalla dimensione della rappresentazione dei parametri (supponendo costo unitario aritmetico). La risoluzione di questa domanda avrebbe implicazioni al di fuori di algoritmi migliori per la programmazione lineare? Ad esempio, l'esistenza / non esistenza di un tale algoritmo avrebbe conseguenze per la teoria della geometria o della complessità?

Modifica: forse dovrei chiarire cosa intendo per conseguenze. Sto cercando conseguenze matematiche o risultati condizionali, implicazioni che sono note per essere vere ora . Ad esempio: "un algoritmo polinomiale per LP nel modello BSS separerebbe / comprimerebbe le classi di complessità algebrica FOO e BAR", oppure "se non esiste un algoritmo fortemente polinomiale, risolve tali congetture su polipropilene" o "a un algoritmo fortemente polinomiale per il problema X che può essere formulato come un LP avrebbe interessanti conseguenze blah ". La congettura di Hirsch sarebbe un buon esempio, tranne per il fatto che si applica solo se simplex è polinomiale.

— Ian
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Va da sé che la tecnica di dimostrazione utilizzata per mostrare questo risultato potrebbe essere persino più interessante del risultato in termini di impatto a lungo termine.

— Suresh Venkat,

Risposte:

Ciò mostrerebbe che i giochi di parità e di guadagno medio sono in P. Vedi Sven Schewe. Dai giochi di parità e payoff alla programmazione lineare. MFCS 2009.

— Rahul Savani
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eccellente. Vorrei poterlo dare più di un +1. questo è un risultato molto interessante.

— Suresh Venkat,

Qualcuno potrebbe elaborare come un algoritmo fortemente polinomiale per LP implicherebbe questo? Schewe crea un'istanza di LP di dimensioni polinomiali con numeri doppiamente esponenziali. Belle. Ora eseguiamo l'algoritmo di tempo fortemente polinomiale su di esso. Ma non è necessario simulare le operazioni aritmetiche eseguite da questo algoritmo? Come viene eseguita questa simulazione senza spendere tempo super polinomiale? (ricorda che i numeri sono doppiamente esponenziali; immagino che si potrebbe fare un trucco cinese, ma possiamo fare un confronto dei numeri in questo modo in tempi polinomiali?).

— slimton,

Non ho ancora letto attentamente il documento, ma a quanto ho capito stanno solo dimostrando che il problema è in P nel modello Real RAM / BSS ( en.wikipedia.org/wiki/Blum%E2%80%93Shub%E2 % 80% 93Smale_machine ), non la versione normale di P. Puoi definire modelli di calcolo su qualsiasi anello R (vedi ams.org/notices/200409/fea-blum.pdf ). Su otteniamo normali macchine di Turing e su reals otteniamo il modello BSS. Ogni anello ha la sua versione di P, che potrebbe non essere uguale allo standard P.

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$

R

$\mathbb{R}$

— Ian

Chiarimento al mio commento precedente: se esiste un algoritmo fortemente polinomiale per LP, allora è polinomiale nel modello BSS, nel qual caso il documento implica parità e giochi di payoff sono anche in P nel modello BSS.

— Ian,

@Ian: In altre parole: questa risposta è stata un po 'fuorviante (ma ciò non ti ha impedito di accettarla come risposta valida).

— slimton,

Dipende dalla risposta. Se l'algoritmo creato ha tempo di esecuzione , avrebbe un impatto minimo. D'altra parte, se porta a un nuovo modo di risolvere gli LP, potrebbe avere un impatto enorme. Ad esempio, se ricordo correttamente la storia (e potrei sbagliarmi completamente ) l'algoritmo ellissoide, ad esempio, oltre al suo significato teorico, porta (?) Allo sviluppo del metodo del punto interno, che in alcuni casi era più veloce del simplex algoritmo. Ciò ha portato a una notevole accelerazione pratica, poiché entrambi gli approcci sono stati compressi per il limite massimo di ciò che si può fare. $(d n)^{Ackerman(10000)}$

— Sariel Har-Peled
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Ma queste condizioni valgono praticamente per qualsiasi risultato teorico: può o non può essere utile a seconda del tempo di esecuzione e le tecniche / idee nel risultato possono portare a futuri progressi.

— Ian,

Non proprio. Se una qualche forma della congettura di Hirsch è vera e la prova è costruttiva, quasi sicuramente porterebbe a risolutori più veloci per LP. In breve, se la domanda è specifica, le sue implicazioni sono chiare e se la domanda è ampia, potrebbe non portare a nulla. O, in altre parole, l'unica conseguenza sicura dell'algoritmo del tempo polinomiale per LP è che comprenderemmo il problema meglio di adesso.

— Sariel Har-Peled,

Ecco una conseguenza per la geometria: un limite fortemente polinomiale per qualsiasi variante (randomizzata o deterministica) dell'algoritmo simplex implica un limite polinomiale sul diametro di un grafico polipropicale. Ciò implica che la "versione polinomiale" della congettura di Hirsch è vera.

— Shiva Kintali
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ma non c'è motivo di credere che un algoritmo temporale fortemente polinomiale per LP debba passare attraverso il metodo simplex. I metodi più conosciuti finora (subsponenziali) usano una strategia di campionamento + ricorsione casuale.

— Suresh Venkat,

Ops. Ho perso il punto.

— Shiva Kintali,

Questo vale solo se simplex è fortemente polinomiale. Sto cercando risultati che valgono più in generale. Potrebbe essere che la congettura di Hirsch polinomiale sia falsa, ma un altro algoritmo sia fortemente polinomiale, o che la congettura di Hirsch polinomiale sia vera, ma il simplex sia esponenziale perché non riesce a trovare un breve percorso nel tempo polinomiale.

— Ian,

@Suresh: In realtà, sono abbastanza sicuro che il campionamento + strategia di ricorsione casuale subexponential si parla (? Clarkson-Matoušek-Sharir-Welzl / Kalai, a destra) è un doppio algoritmo simplex. (Ma questo non contraddice il tuo punto.)

— Jeffε

oh aspetta. Michael Goldwasser non ha funzionato molto tempo fa in un articolo di SIGACT? Hmm. ora devo andare a scavare.

— Suresh Venkat,