Quali proprietà dei grafici planari si generalizzano a dimensioni / ipergrafi superiori?

Un grafico planare è un grafico che può essere incorporato nel piano, senza bordi incrociati.

Sia un ipergrafo k -uniforme, cioè un ipergrafo tale che tutte le sue iperedge abbiano dimensione k.$G=(X,E)$$k$

Sono stati fatti alcuni lavori sull'incorporamento di ipergrafi nel piano (con il contesto del clustering o di qualche altra applicazione), ma spesso i dati non possono essere incorporati nel piano. La soluzione potrebbe essere o forzarla, con qualche perdita, o incorporarla in una dimensione superiore come suggerisco qui:

Un'estensione naturale della planarità (almeno IMO) è un " -semplice-embedding" (esiste un nome diverso noto per questo?) Di G : un incorporamento M : X → R k , tale che esistono superfici che si connettono tutti i vertici di ciascun hyperedge e questi non si intersecano ad eccezione degli endpoint.$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(Pensa all'analogo in 2D, dove ogni superficie è un bordo che puoi disegnare come preferisci).

Ecco un esempio di un 3-semplice-incorporamento valido di un 3-ipergrafo uniforme. (Ogni vertice è colorato dalle hyperedges in cui è contenuto e ogni faccia rappresenta un hyperedge).

Un altro esempio di grafico a 3 semplici è l'ipergrafo a 3 uniformi completo su 5 vertici . Per vederlo basta prendere 4 punti in R 3 che non giacciono su un piano 2D, creare una piramide triangolare (il loro scafo convesso) e posizionare il quinto punto al centro della piramide, collegandolo agli altri vertici.$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

Allo stesso modo, sembra che l'ipergrafo a 3 uniformi completo su 6 vertici non abbia un 3-embedding semplice.

Ci sono alcune proprietà molto utili dei grafici planari che consentono algoritmi migliorati per problemi difficili quando il grafico è planare. Sfortunatamente, i dati spesso non sono planari, sebbene a volte siano di bassa dimensionalità. Penso che la comprensione delle proprietà generali dei grafici planari ci aiuterà a capire quali algoritmi possono essere adattati per una dimensione superiore con lo stesso strumento.

Un esempio di proprietà che potrebbe essere utile viene dal Teorema di Fáry che suggerisce che ogni grafico planare può essere incorporato in modo tale che tutti i suoi bordi siano segmenti di retta.

$k$

Ci sono altre proprietà che possono essere generalizzate? per esempio, la formula di Eulero per i grafici planari può essere generalizzata in qualche modo a una dimensione superiore? (anche se al momento non sono sicuro di quale sarebbe il significato).

Come prima osservazione, la tua attenzione sembra concentrarsi sugli ipergrafi, ma penso che la maggior parte della letteratura sull'incorporamento degli ipergrafi preferisca lavorare con i complessi simpliciali. Un buon riferimento a queste domande è questo articolo di Matousek, Tancer e Wagner.

Il teorema di Fáry ha una dimensione superiore?

La risposta è no.

Esistono in realtà 3 diverse nozioni di embeddabilità: con bordi diritti, lineari a tratti e continui (iper). Nell'aereo coincidono tutti, ma in generale no. Per quanto riguarda gli incastri in linea retta, un primo contro-esempio è dovuto a Brehm

Brehm, U. (1983). Una striscia di Möbius triangolata non poliedrica. Proc. Amer. Matematica. Soc., 89 (3), 519-522. DOI: 10,2307 / 2.045.508

e diversi esempi hanno seguito usando i risultati della teoria matroid.

Circa la differenza tra PL e incastellamenti topologici, ciò risulta dai contro-esempi generali derivanti dall'Hauptvermutung : nelle dimensioni 5 e più, esistono sfere topologiche che non ammettono alcuna struttura lineare a tratti

Ci sono altre proprietà che possono essere generalizzate? per esempio, la formula di Eulero per i grafici planari può essere generalizzata in qualche modo a una dimensione superiore?

$k$

Allo stesso modo, sembra che il 3-ipergrafo completo su 6 vertici non abbia 3-semplici incorporamenti.

In effetti, questo deriva dall'ostruzione di van Kampen-Flores. Ciò è spiegato con notevole dettaglio e chiarezza nel libro di Matousek, usando il teorema di Borsuk Ulam.

Oh, oh. Vuoi stare molto molto attento. I grafici a contatto di polipropilene convessi in 3d possono realizzare qualsiasi grafico. Sorprendentemente, la cricca può essere realizzata da n polipetti che sono n ruotati e tradotti copie dello stesso politopo (la mente vacilla). Vedi questo documento:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

Ciò implica già che puoi codificare grafici piuttosto cattivi come grafici di intersezione di triangoli in 3d. Vedi la sezione 4 di questo documento:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

A proposito, sono interessato a una versione simile del tuo problema cercando di capire come si comporta il grafico dell'intersezione geometrica ...

Il teorema di Schnyder afferma che un grafico è planare se il suo poset di incidenza ha dimensione al massimo 3. Questo è stato esteso da Mendez a complessi arbitrari semplificati (vedi "Realizzazione geometrica di complessi simpliciali", Disegno grafico 1999: 323-332). Stranamente c'è un documento molto più vecchio con un titolo molto simile "La realizzazione geometrica di un complesso semi-simpliciale", ma sospetto che sia su un argomento diverso.

Proprietà molto importante: dualità alla larghezza dell'albero.

es. guarda: Larghezza dell'albero degli ipergrafi e dualità della superficie di Frederic Mazoit,

L'abstract è il seguente:

In Graph Minors III, Robertson e Seymour scrivono: "Sembra che la larghezza dell'albero di un grafico planare e la larghezza dell'albero del suo doppio geometrico siano approssimativamente uguali, anzi, ci siamo convinti che differiscano al massimo da uno". Non ne hanno mai dato prova. In questo documento, dimostriamo una generalizzazione di questa affermazione all'incorporamento di ipergrafi su superfici generali e dimostriamo che il nostro limite è stretto.

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf