Esempio di violazione delle condizioni di positività rigorosa nei tipi induttivi

La maggior parte dei sistemi tipizzati dipendenti presenta condizioni di positività rigorosa per i tipi induttivi. Qualcuno sa un esempio in cui la violazione della condizione porta a incoerenza nel sistema?

In realtà è possibile rilassare la positività rigorosa e rimanere coerenti. Ad esempio, è sufficiente avere solo una condizione di positività. Cioè, possiamo accettare definizioni di tipo come

$$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$$

dove le variabili di tipo ricorsivo si verificano a sinistra di un numero pari di frecce e mantengono la coerenza.

$T$$T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$

Poiché le teorie del tipo dipendente sono spesso utilizzate per formalizzare la matematica, i loro progettisti sono generalmente titubanti nell'aggiungere principi che non sono compatibili con una semantica teorica, anche se coerenti.

$T$

$F$$\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$

$F$$F : \ast \to \ast$

$$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$$ $\mathrm{map}\;id = id$$\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$

Ora possiamo definire un operatore di tipo per il doppio powerset

$$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$$

$\alpha$

$$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$$

$T = \mu C$