Semplice prova del limite peggiore di Ω (n lg n) per unicità / distinzione?

Esistono diverse prove per il limite inferiore loglineare per il problema dell'unicità / distinzione degli elementi (basato su alberi di calcolo algebrici o argomenti contraddittori), ma ne sto cercando uno abbastanza semplice da utilizzare in un primo corso di analisi e progettazione di algoritmi. Lo stesso "livello di difficoltà" del limite inferiore per l'ordinamento andrebbe bene. Inoltre, qualsiasi approccio (ad esempio, combinatorio o basato sulla teoria dell'informazione) sarebbe OK. Eventuali suggerimenti?

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— Magnus Lie Hetland
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Quale modello di calcolo hai in mente? Se gli articoli sono piccoli numeri interi si può fare

ordinando. Se gli articoli possono essere confrontati solo per disuguaglianza, sembra che ci sia un limite inferiore di

. È corretto dedurre dalla risposta che stai cercando che gli articoli sono ordinati in modo lineare e possono essere confrontati per <, =,> ma non ci sono altre operazioni?

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Warren Schudy,

La domanda di Warren nel suo commento è una buona chiamata. A questo proposito, il commento di David Eppstein su un'altra domanda è approfondito, in cui sottolinea l'importanza di specificare il modello computazionale quando parliamo di questo tipo di limiti inferiori. A proposito, non sono sicuro se abbia senso elencare "alberi di calcolo algebrico" (un modello di calcolo) e "argomenti contraddittori" (un metodo di prova) fianco a fianco.

— Tsuyoshi Ito,

Punti molto buoni. La mia applicazione qui spiega le prove di durezza mediante riduzione, ad esempio riducendo dall'unicità allo smistamento (e molti altri problemi). Pertanto, sto assumendo le stesse operazioni di base di quando si lavora con l'ordinamento di confronto (in modo che la riduzione funzionerà). (O, suppongo, qualcosa di equivalente alla RAM con numeri reali.)

— Magnus Lie Hetland,

Risposte:

Qualsiasi certificato (prova) di distinzione che utilizza solo <, = e> deve includere confronti tra ciascuna coppia di elementi adiacenti nell'ordine ordinato. Pertanto, qualsiasi certificato di distinzione fornisce informazioni sufficienti per l'ordinamento e quindi il limite inferiore teorico dell'informazione standard per l'ordinamento si applica anche a qualsiasi algoritmo di distinzione deterministica.

— Warren Schudy
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Questo argomento funziona per gli alberi di confronto, ma non (direttamente) per i modelli di albero decisionale più generali.

— Jeffε

JeffE: Sono d'accordo. Dubito che ci sia una prova abbastanza semplice per gli scopi di Magnus che funziona in un modello più generale.

— Warren Schudy,

Giusto. Gli alberi di confronto vanno bene per la mia applicazione, quindi immagino che questo sia abbastanza vicino a quello che sto cercando. La mia applicazione stava spiegando l'idea delle prove di durezza, inclusa la riduzione allo smistamento, quindi il fatto che la prova di smistamento sia usata qui in qualche modo cortocircuita il tutto. Immagino che avrei dovuto dichiararlo esplicitamente :-)

— Magnus Lie Hetland,

Non sono sicuro di aver capito correttamente la domanda, ma la prova di Dobkin e Lipton [DL79] che il problema dell'unicità su n numeri richiede Ω ( n log n ) il confronto nel modello dell'albero decisionale lineare è molto più semplice del risultato più forte in il modello di albero di calcolo algebrico di Ben-Or [Ben83] (non a caso).

Riferimenti

[Ben83] Michael Ben-Or. Limiti inferiori per gli alberi di calcolo algebrico. In Atti del quindicesimo simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica (STOC 1983) , pagg. 80-86, aprile 1983. http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] David P. Dobkin e Richard J. Lipton. Sulla complessità dei calcoli sotto vari insiemi di primitivi. Journal of Computer and System Sciences , 18 (1): 86–91, febbraio 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Tsuyoshi Ito
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In breve: considerare lo spazio R ^ n di tutti gli input possibili. L'insieme di ingressi positivi ha n! componenti collegati, uno per ogni permutazione. D'altra parte, gli input del sottoinsieme che possono raggiungere qualsiasi foglia in un albero decisionale lineare sono convessi e quindi collegati. Pertanto, ogni albero decisionale lineare che determina l'unicità ha almeno n! le foglie.

— Jeffε

È richiesto un argomento più sottile per il caso speciale di input di numeri interi. Vedi Lubiw e Rács, "Un limite inferiore per il problema della distinzione tra elementi interi", Informazione e calcolo 1991; o Yao, "Limiti inferiori per alberi di calcolo algebrici con input interi", FOCS 1989.

— Jeffε

@JeffE: la tua breve spiegazione è meravigliosa. Grazie anche per il puntatore a risultati interessanti. Non mi è mai venuto in mente che il limite inferiore di Ben-Or non si applica immediatamente al caso in cui l'input è limitato a numeri interi!

— Tsuyoshi Ito,

Jeff: questi dovrebbero essere in una risposta!

— Suresh Venkat,

Grazie sia a Tsuyoshi Ito che a JeffE. Ho già visto la prova dello spazio R ^ n in precedenza (in un'impostazione che utilizza argomenti contraddittori). Ho pensato che fosse un po 'troppo complesso per il mio pubblico di destinazione quando l'ho letto per la prima volta, ma credo che forse non lo sia. Grazie. (Ho anche visto il documento sull'intero caso - penso che non ne parlerò nella mia lezione ... :)

— Magnus Lie Hetland,