Il teorema di Kannan implica che NEXPTIME ^ NP ⊄ P / poly?

Stavo leggendo un articolo di Buhrman e Homer "Circuiti superpolinomiali, oracoli quasi sparsi e gerarchia esponenziale" .

Nella parte inferiore della pagina 2 osservano che i risultati di Kannan implicano che non ha circuiti di dimensioni polinomiali. So che nella gerarchia temporale esponenziale, è solo , e so anche che il risultato di Kannan è che tale che . Naturalmente, il teorema di Kannan NON sta dicendo (affinché ciò avvenga dovremmo dimostrare che tale che , Tuttavia, non vedo come il risultato di Kannan lo implichi $NEXPTIME^{NP}$ $NEXPTIME^{NP}$ $\Sigma_2EXP$ $\forall c\mbox{ }\exists L\in\Sigma_2P$ $L \not\in Size(n^c)$ $\Sigma_2P \not\subset P/poly$ $\exists L\in\Sigma_2P$ $\forall c$ $L \not\in Size(n^c)$ $NEXPTIME^{NP} \not\subset P/poly$ ?

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'
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Forse è più appropriato per cstheory.se.

— Yuval Filmus,

@YuvalFilmus Ok, grazie. Se un moderatore ritiene che sia più appropriato per cstheory.se, sentiti libero di spostarlo.

Questo è anche al momento sulla serie di problemi cs354 ...: - / ... Ho esplicitamente chiesto agli studenti di non chiedere a Internet, quindi "Lorraine" spera meglio che non stiano frequentando la mia classe.

— Ryan Williams,

@Sasho, penso che sarebbe bene farlo, almeno fino a dopo la data di scadenza dell'incarico.

— Kaveh,

@Turbo Immagino che potrei anche farlo, spero che questo non sia il problema di qualcun altro impostato al momento.

— Sasho Nikolov,

Questa versione della risposta incorpora il feedback di Emil Jeřábek.

Per quanto posso vedere, la svolta principale è che in esiste un linguaggio di complessità del circuito esponenziale. In particolare, correggi una codifica binaria dei circuiti booleani e definisci come lingua definita da $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L$

$L_n$ non è deciso da alcun circuito di dimensioni e $2^{n/2}$

qualsiasi lingua che precede lessicograficamente è decisa da un circuito di dimensioni al massimo , $L'_n \subseteq \{0,1\}^n$ $L_n$ $C$ $2^{n/2}$

dove la notazione indica la sezione . $L_n$ $L_n = L \cap \{0,1\}^n$

Per fare questo in tempo esponenziale con un , puoi usare la ricerca binaria su sottoinsiemi di ( come numeri interi da bit) per trovare il primo tale insieme che ha una complessità del circuito . Basta mantenere l'attuale ipotesi di e utilizzare l'oracolo per verificare se esiste un della complessità del circuito almeno . Dal momento che questo dà una macchina in che scrive l'intera fetta , chiaramente possiamo anche decidere l'appartenenza , e, quindi, in . $\Sigma_2^\mathsf{P}$ $\{0,1\}^n$ $2^n$ $> 2^{n/2}$ $L_n$ $L'_n \prec_{\text{lex}} L_n$ $2^{n/2}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L_n$ $L_n$ $L$

Questo è molto simile all'argomento di Kannan, ma ingrandito e semplificato per usare il tempo esponenziale. Quindi dovresti essere in grado di utilizzare una versione ingrandita del teorema di Karp-Lipton per mostrare che se , quindi e puoi eseguire l'analisi del caso nella prova di Kannan. $\mathsf{NEXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2} \subseteq \mathsf{NEXP}^{\mathsf{NP}}$

— Sasho Nikolov
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AFAICS la tua descrizione fornisce direttamente una lingua , piuttosto che .

{E X P}^{Σ_{2}^{P}}

$\mathrm{EXP}^{\Sigma^P_2}$

{N E X P}^{Σ_{3}^{P}}

$\mathrm{NEXP}^{\Sigma^P_3}$

— Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek Il mio cervello non è mai stato in grado di elaborare macchine oracolari. Ho quantificato la profondità quattro: è in se esiste un circuito di dimensioni tale che e [per tutti i circuiti di dimensione esiste una parola per cui ] e [per tutte le che precedono nell'ordine lex esiste un circuito di dimensioni al massimo di m per tutto

w \in {0, 1}^{n}

$w \in \{0,1\}^n$

L

$L$

C^{*}

$C^*$

\leq 2^{n}

$\le 2^n$

C^{*} (w) = 1

$C^*(w) = 1$

C

$C$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C (w^{'}) \neq C (w)

$C(w') \neq C(w)$

C^{'}

$C'$

C^{*}

$C^*$

C^{″}

$C''$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C^{'} (w^{'}) = C^{″} (w^{'})

$C'(w') = C''(w')$ ]. Questo sembra essere il quarto livello della gerarchia esponenziale. Cosa c'è nella notazione oracolo?

— Sasho Nikolov,

Innanzitutto, "esiste una parola ..." e il quantificatore universale simile vicino alla fine non conta in quanto hanno una dimensione lineare, quindi possono essere calcolati in modo deterministico in tempo esponenziale. In secondo luogo, il quantificatore più esterno può essere simulato deterministicamente in tempo esponenziale usando la ricerca binaria.

— Emil Jeřábek 3.0

Cioè, la funzione lessicograficamente primo booleana su ingressi che non ha circuiti di dimensioni può essere trovato da tempo esponenziale ricerca binaria con Oracle per il predicato "esiste una funzione lexicographically precedente che non è calcolabile da un circuito di dimensioni ".

f

$f$

n

$n$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

f^{'}

$f'$

f

$f$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— Emil Jeřábek 3.0

@SashoNikolov Quindi funziona ancora da . Tuttavia non possiamo usare se applichiamo Karp-Lipton in cstheory.stackexchange.com/questions/39837/… . Quindi abbiamo e . Questo non funziona per .

E X P^{Σ_{2}^{P}} \subseteq N E X P^{Σ_{3}^{P}}

$EXP^{\Sigma_2^P}\subseteq NEXP^{\Sigma_3^P}$

N E X P \subseteq i . o . P / p o l y

$NEXP\subseteq i.o.P/poly$

E X P^{P P} ⊈ i . o . P / p o l y

$EXP^{PP}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{Σ_{3}^{P}} ⊈ i . o . P / p o l y

$NEXP^{\Sigma_3^P}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{N P}

$NEXP^{NP}$

— T .... il