Ci sono ancora problemi aperti sui DFA?

Dopo aver studiato gli automi a stati finiti deterministici (DFA) in undergrad, ho sentito che sono estremamente ben compresi. La mia domanda è se c'è qualcosa che ancora non capiamo su di loro. Non intendo generalizzazioni di DFA ma i DFA originali non modificati che studiamo in undergrad.

Questa è una domanda vaga ma spero che tu abbia l'idea. Voglio capire se è giusto dire che comprendiamo completamente i DFA. Quindi intendo davvero domande che riguardano intrinsecamente i DFA, non i problemi fatti artificialmente per sembrare un problema sui DFA. Lasciatemi fare un esempio di tale problema. Sia L la lingua vuota se P = NP e una lingua fissa non regolare se P non è NP. L può essere accettato da un DFA? Questa domanda riguarda i DFA, ma non si tratta di loro nello spirito. Spero che il mio punto sia chiaro e non ricevo risposte pedanti da parte della gente.

Insomma è giusto dirlo

In sostanza comprendiamo completamente i DFA.

Mi dispiace se si scopre che questa è una vasta area di ricerca di cui non ero a conoscenza e che ho appena insultato un'intera comunità di persone.

Ecco un problema descritto nel libro "Un secondo corso in linguaggi formali e teoria degli automi" di Shallit.

Diamo e v essere due parole distinte con | u | = | v | = n . Qual è la dimensione del DFA più piccolo che accetta u ma rifiuta v o viceversa?$u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

Robson, nel suo articolo " La separazione stringhe con piccoli automi ", nel 1989 si è rivelato un limite superiore . Il limite inferiore più noto in Ω ( log n ) .$O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

Per un sondaggio vedi questo .

Ecco un problema decisionale molto semplice su DFA. Dato un DFA M, M accetta la rappresentazione di base 2 di almeno un numero primo?

Attualmente, non sappiamo nemmeno se questo problema è risolvibile in modo ricorsivo.

Se è ricorsivamente risolvibile e abbiamo avuto un algoritmo per esso, potremmo risolvere il problema aperto di vecchia data sulla presenza di numeri primi di Fermat (numeri primi della forma ) più grandi del più grande noto, 65537. (Perché qualsiasi numero primo con rappresentazione base-2 del modulo 1 0 + 1 deve essere un numero primo di Fermat.)$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

La congettura di Černý è ancora aperta e importante. Riguarda i DFA che hanno una parola di sincronizzazione (una parola con la proprietà che due copie dell'automa avviate in stati diversi finiscono sempre nello stesso stato l'una dell'altra dopo che entrambe hanno elaborato la parola) e chiede se (per -state automi) la lunghezza della parola più corta è sempre al massimo ( n - 1 ) 2 . I limiti meglio provati sono nella forma O ( n 3 ) .$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

Voglio sottolineare un altro problema di ricerca, che riguarda l'interazione di concetti molto basilari sui DFA.

$2^n$$2^n$

Problema del numero magico

$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$ ?

$\alpha$$\alpha$ per i quali ciò è impossibile (se tali valori esistono, questi sono chiamati "numeri magici").

$1$$3$ . Ma se non sbaglio, il caso degli alfabeti binari è ancora aperto.

Galina Jirásková. Numeri magici e alfabeto ternario. In: 13ª Conferenza internazionale sugli sviluppi della teoria delle lingue (DLT 2009), volume 5583 degli Appunti delle lezioni di informatica, pagine 300–311.

Titolo: intersezione di non vuoto per due DFA

$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

$o(n^2)$

$O(n^{\delta})$$\delta$

Spiegazione: Decidere il vuoto dell'intersezione delle lingue normali in tempi subquadratici

Questo potrebbe essere utile: http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

Vi auguro una buona giornata! :)

Ecco un problema aperto relativo a DFA e teoria dell'apprendimento automatico: sono uniformemente casuali (transizioni casuali e comportamento di accettazione / rifiuto) DFA apprendibile nel modello PAC?

Nota: riteniamo che i DFA arbitrari non siano apprendibili in b / c dei risultati della durezza crittografica . Per DFA casuale, abbiamo solo limiti inferiori SQ , che non sono così forti.

$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$$O(n^2)$ per trovare un DFCA minimo. Un algoritmo di tempo di esecuzione ottimale non è ancora noto. Inoltre ci sono altri aspetti di DFA che possiamo considerare su DFCA.

$n$

Mi sembra che dovrebbe esistere una formula in forma chiusa, ma nessuno è noto. Sono noti alcuni limiti asintotici:

$n$

Ecco una domanda relativa a DFA che avevo qui prima, ed è ancora aperta per quanto ne so:

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$ .

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

Questa domanda ha implicazioni per l'apprendimento automatico .

("pensare fuori dagli schemi" ...) questo è un problema un po 'inventato che coinvolge i DFA (non l'hanno visto studiato altrove) ma manifesta un tema nel TCS che anche molti oggetti computazionali apparentemente "semplici" (come i DFA) possono avere proprietà complesse , anche un aspetto / tema incarnato nel teorema di Rices. (in qualche modo la "complessità" finale è "indecidibilità", ovvero completezza di Turing.)

$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$, è anche un RL (e un DFA).

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

ora, per legare maggiormente questo alla domanda, sebbene ciò non sia ampiamente notato (considerato da alcuni insignificante), molti problemi aperti in TCS / matematica sono strettamente connessi con l'indecidibilità in quanto dato un oracolo per il problema di arresto, possono essere " risolto".

quindi, in un certo senso, legando tutto insieme usando questo problema di base sui DFA che è indecidibile, ci saranno sempre problemi aperti sui DFA, perché ci saranno sempre problemi "aperti" sui DFA (come questo) equivalenti a problemi indecidibili . infatti usando il teorema di Rices al contrario come questa costruzione fa in qualche modo, praticamente qualsiasi proprietà computazionale relativamente "semplice" ma non banale in TCS può essere usata per costruire problemi indecidibili.

[1] Problemi di parole che richiedono tempo esponenziale / Stockmeyer & Meyer

[2] Meyer, AR e L. Stockmeyer. Il problema di equivalenza per le espressioni regolari con quadratura richiede spazio esponenziale. 13 ° Simposio IEEE su commutazione e teoria degli automi, ottobre 1972, pagg. 125-129.

[3] Introduzione a lingue, automi e computazione / Hopcroft / Ullman.