Rappresentazione formale di anelli nei calcoli

Mentre si legge un articolo sull'uso dei metodi algebrici per rilevare alcuni sottografi indotti, sembra che l' ideale del bordo sia uno strumento importante che collega l'algebra commutativa e la teoria dei grafi. Dato che non ho familiarità con i calcoli degli oggetti algebrici, ci sono riferimenti o libri validi su questo argomento? Particolarità nel rappresentare un anello R su una macchina di Turing e la complessità di decidere le proprietà di base su R (diciamo, l'altezza di un ideale primo in R.)

Le tue domande sono correlate a un campo (nessun gioco di parole voluto) chiamato "Computer Algebra". Io stesso stavo cercando sondaggi completi quando stavo lavorando su metodi algebrici per calcolare varie metriche di centralità del grafico. Non sono riuscito a trovare buoni sondaggi, ma questo libro è stato parzialmente utile. Gli articoli di ricerca su questo "argomento" sono sparsi ovunque e spesso non esplicitamente classificati come "algebra del computer". La lettura di articoli algoritmici sull'isomorfismo, il factoring (numeri interi / polinomi) e gli algoritmi grafici basati sulla moltiplicazione di matrici potrebbero fornire ulteriori approfondimenti.

Per quanto mi risulta:

1. Se leggi dei limiti inferiori in alcuni modelli computazionali algebrici, allora il presupposto abituale è che le operazioni di anello o campo hanno un costo costante , cioè sono date come primitive. Questo è il presupposto di una delle principali fonti sull'argomento: Burgisser, Clausen, Shokrollahi - Teoria della complessità algebrica (Springer, 1997). (E questo è ciò che è modellato dai circuiti algebrici, per esempio.)

2. Quando si parla di limiti superiori , per domande standard nella complessità algebrica, come quando si studiano le procedure di test di identità polinomiale, allora il presupposto standard è che le operazioni ad anello o sul campo possono essere calcolate nel tempo polifunzionale. Ciò significa che si lavora sugli interi o sui numeri razionali ed è facile trovare uno schema di codifica che consenta calcoli così efficienti delle operazioni di base.

3. Per altri scopi che conosco, riguardo ai modelli algebrici, il modo di rappresentare l'anello o il campo è una vera domanda e a volte non esiste un modo efficace per farlo, e potrebbero esserci persino domande di indecidibilità. I riferimenti che conosco che trattano questo tipo di domande sono il libro di Shiva Kintali e anche: Algorithmic Algebra , Bhubaneswar Mishra, Springer 1993: il capitolo 3 tratta dei modi per rappresentare determinati anelli.

Altri libri di interesse potrebbero essere: Zur Gathen e Jurgen Gerhard, Modern Computer Algebra , Cambridge, 1999. E forse Victor Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra , (Disponibile online).

Potresti anche avere fortuna con le parole chiave "algebra commutativa computazionale" e "geometria algebrica computazionale". Prova CLO come punto di partenza e guarda J. Symbolic Computation, e sistemi come Macaulay2 e Singular e gli articoli che li fanno riferimento. Il grande martello sono le basi di Gr \ "obner, il cui calcolo risolverà molti problemi algebrici, ma il caso peggiore è doppiamente esponenziale in generale.