Verifica se un polinomio si trasforma in fattori lineari

Sia $f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ un polinomio dato da un circuito aritmetico $C$ di dimensione $s$ . Dato $C$ come input, esiste un algoritmo deterministico per verificare se tutti i fattori irriducibili di $f$ in $\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ sono forme lineari? Su una nota correlata, data una forma lineare $l=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}$ , possiamo verificare in modo deterministico se $l$ è un fattore di $f$ . Ovviamente, vogliamo che il tempo di esecuzione sia polinomiale in entrambi i casi. Per dimensione, intendiamo la dimensione totale del bit. Inoltre, si può presumere che il grado di $f$ sia polinomiale in $n$ .

ds.algorithms algebraic-complexity arithmetic-circuits

— Gorav Jindal
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Quando dici "dimensione

s

$s$ " significa che numero di porte / fili, o dimensione totale dei bit (tenendo conto dei bit usati per descrivere le costanti nel circuito)?

— Joshua Grochow,

@JoshuaGrochow, sì, la dimensione è la dimensione del bit qui.

— Gorav Jindal,

Tre commenti che probabilmente hai già in mente, ma per ogni evenienza: 1. Per quanto riguarda il tempo polinomiale, gli algoritmi di fattorizzazione per i circuiti aritmetici sono polinomiali nelle dimensioni e nel grado del polinomio e non sono a conoscenza di algoritmi per attività correlate che vengono eseguiti in tempo polinomiale solo nelle dimensioni. 2. Per quanto riguarda il determinismo, questi algoritmi sono randomizzati e le varianti deterministiche diventano esponenziali nel numero di variabili. 3. La seconda domanda può essere tradotta in un problema PIT, quindi la tua domanda equivale a derandomizzare alcuni algoritmi PIT specifici.

— Bruno,

Aggiungo anche che trovo questi problemi molto interessanti e mi piacerebbe sapere cosa si sa già su questo!

— Bruno,

re PIT, test di identità polinomiale tramite Schwartz – Zippel / wikipedia e c'è molta ricerca attiva in quell'area. (Riguardo al fatto che pg PIT può essere utilizzato per fattorizzare numeri interi, ma qual è un riferimento che delinea come usarlo per fattorizzare i polinomi?)

— vzn

$f$ $f$

$\ell$ $\ell$ $f$

$f$ $f \bmod \ell$

— Ramprasad
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