Classi massime per le quali il più grande insieme indipendente può essere trovato in tempo polinomiale?

L' ISGCI elenca oltre 1100 classi di grafici. Per molti di questi sappiamo se il SET INDIPENDENTE può essere deciso in tempo polinomiale; questi sono talvolta chiamati classi IS-easy . Vorrei compilare un elenco di classi IS-easy massime . Queste classi insieme formano il confine della tracciabilità (nota) per questo problema.

Dal momento che si può semplicemente aggiungere un numero finito di grafici a qualsiasi classe infinita di facile IS senza influire sulla tracciabilità, alcune restrizioni sono in ordine. Limitiamo le classi a quelle ereditarie (chiusa sotto assunzione di sottografi indotti, o equivalentemente, definita da un insieme di sottografi indotti esclusi). Inoltre, consideriamo solo quelle famiglie che sono X-free per un set X con una piccola descrizione. Ci potrebbero sono anche essere catene ascendenti infinite classi trattabili (come $(P,\text{star}_{1,2,k})$-free e le classi descritte da David Eppstein di seguito), ma limitiamo l'attenzione alle classi che si sono dimostrate essere IS-facili.

Ecco quelli che conosco:

• grafici perfetti
• privo di$(P,\text{star}_{1,2,5})$
• privo di$(K_{3,3}-e, P_5)$
• co-Meyniel
• quasi bipartito
• senza sedia
• ( , cricket) -free$P_5$
• privo di$(P_5,K_{n,n})$(per qualsiasi fisso)$n$
• privo di$(P_5, X_{82}, X_{83})$

Sono conosciute altre classi massime del genere?

Modifica: vedi anche una domanda correlata posta da Yaroslav Bulatov che tratta di classi definite da minori esclusi cosa è facile per i grafici esclusi da minori? e vedi le proprietà globali delle classi ereditarie? per una domanda più generale che ho posto in precedenza sulle classi ereditarie.

Come sottolinea Jukka Suomela nei commenti, anche il caso escluso minore è interessante (e farebbe una domanda interessante), ma questo non è l'obiettivo qui.

Per evitare l'esempio di David, una classe massima dovrebbe essere definibile anche come grafici senza X, dove non tutti i grafici in X hanno un vertice indipendente.

Classi riportate nelle risposte di seguito:

• senza mele (suggerito da Standa Živný)
• ( , house) -free$P_5$ (suggerito da David Eppstein)
• ( artiglio) -free$K_2 \cup$ (suggerito da David Eppstein)

Aggiunto il 10-10-2013: il recente risultato di Lokshtanov, Vatshelle e Villanger, menzionato da Martin Vatshelle in una risposta, sostituisce alcune delle classi massime precedentemente note.

In particolare, -free essendo IS-easy sussume ( P 5 , cricket) -free, ( P 5 , K n , n ) -free, ( P 5 , X 82 , X 83 ) -free e ( P 5 , house) -free tutto essendo IS-facile.$P_5$$P_5$$P_5$$K_{n,n}$$P_5$$X_{82}$$X_{83}$$P_5$

Ciò significa che tutte le classi di grafici ereditarie definite da un singolo sottografo indotto proibito con un massimo di cinque vertici possono ora essere definitivamente classificate come IS-easy o non-IS-easy.

Sfortunatamente la prova che i grafici privi di formano una classe IS facile non sembra funzionare per i grafici privi di P 6 , quindi la prossima frontiera è classificare tutte le classi ereditarie del grafico definite da un singolo grafico a sei vertici.$P_5$$P_6$

Rimango particolarmente interessato a IS-facile classi del modulo -free per qualche raccolta X di grafici con infiniti classi di isomorfismo, ma dove Y -free non è IS-facile per qualsiasi Y ⊂ X .$X$$X$$Y$$Y \subset X$

La domanda è già un po 'più vecchia, ma ISGCI può essere di qualche aiuto qui.

Quando avvii l'applicazione ISGCI Java e vai al menu Problemi -> Confini / Apri classi -> Set indipendente, viene visualizzata una finestra di dialogo con 3 elenchi.

L'elenco Maximal P contiene tutte le classi C (in ISGCI) su cui IS può essere risolto in tempo polinomiale, in modo che vi sia una superclasse minima di C su cui IS non è noto essere in P (cioè NP-complete, open, o sconosciuto a ISGCI). Selezionando una classe e facendo clic su 'Disegna' si disegneranno la classe e le superclassi che si trovano camminando in stile BFS nella gerarchia di inclusione per quanto è necessario per trovare una classe in cui IS non è noto essere in P.

L'elenco Minimal NP-complete va al contrario: contiene classi in cui IS è NP-complete, in modo tale che non tutte le sottoclassi massime siano anche NP-complete. Il disegno scende nella gerarchia fino a quando non viene trovata una classe non NP completa.

L'elenco aperto contiene classi per le quali il problema è aperto o sconosciuto. Il disegno cammina su super / sottoclassi fino a raggiungere una classe che non è aperta.

Quando si crea un disegno, è consigliabile impostare la colorazione sul problema Set indipendente (Problemi -> Colore per problema -> Set indipendente).

Per quanto riguarda la domanda di Standa Zivny, le seguenti 20 classi sono elencate in ISGCI con complessità nota per il problema IS non ponderato, ma con complessità sconosciuta per il caso ponderato (ISGCI non è in grado di distinguere tra algoritmi polinomiali "semplici" e "complicati"):

gc_11 esteso P ₄ -laden
gc_128 EPT
gc_415 ben coperto
gc_428 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₈ ) -free
gc_648 (K _3,3 -e, P ₅ ) -free
gc_752 cricca ereditaria-Helly
gc_756 (E, P) -free
gc_757 (P, T ₂ ) -free
gc_758 (P, P ₈ ) -free
gc_759 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₉ ) -free
gc_808 (C ₆ , K _{3, 3} + e, P, P ₇ , X ₃₇ , X ₄₁ ) -free
gc_811 (P, stella_1,2,5 ) -free
gc_812 (P ₅ , P ₂ ∪ P ₃ ) -free
gc_813 (P, P ₇ ) -free
gc_818 (P, stella _1,2,3 ) -free
gc_819 (P, stella _{1, 2,4} ) -free
gc_841 (2K ₃ + e, A, C ₆ , E, K _3,3 -e, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X₉₈ , A, C ₆ , E, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X ₉₈ , antenna, co-antenna, co-domino, co-fish, co-twin-house, domino, fish, twin-house) -free
gc_894 co-circolare perfetto
gc_895 fortemente circolare perfetto
(3K ₂ , E, P ₂ ∪ P ₄ , netto) -free

Senza dubbio alcuni di questi avranno algoritmi noti anche per il caso ponderato. Aggiunte e correzioni sono sempre ben accette all'indirizzo indicato sulla pagina web ISGCI!

Un documento interessante da guardare potrebbe essere:

A. Brandstadt, VV Lozin, R. Mosca: serie indipendenti di peso massimo nei grafici senza Apple, SIAM Journal on Discrete Mathematics 24 (1) (2010) 239–254. DOI: 10,1137 / 090.750.822

La classe infinita di mele è definita come cicli C_k, k> = 5, ciascuno con un gambo.

Non menzionate se la vostra nozione di semplicità IS includa il problema IS ponderato. I grafici senza sedia (noti anche come grafici senza fork) sono noti per essere IS-easy:

VE Alekseev, algoritmo polinomiale per la ricerca dei più grandi insiemi indipendenti in grafici senza forcelle, Discrete Applied Mathematics 135 (1-3) (2004) 3–16. DOI: 10.1016 / S0166-218X (02) 00.290-1

La trattabilità del caso ponderato è un'estensione non banale, vedi:

VV Lozin, M. Milanic: un algoritmo polinomiale per trovare un set indipendente di peso massimo in un grafico senza forche, Journal of Discrete Algorithms 6 (4) (2008) 595–604. doi: 10.1016 / j.jda.2008.04.001

Ci sono altre classi (interessanti) in cui il problema IS ponderato è significativamente più difficile / intrattabile / aperto rispetto al caso non ponderato?

Secondo Vassilis Giakoumakis e Irena Rusu, Disc. Appl. Matematica. 1997 , i grafici privi di (P5, house) (noti anche come grafici (P5, coP5)) sono IS-facili.

Un altro, accreditato da ISGCI a V. Lozin, R. Mosca Disc. Appl. Matematica. 2005 , è la famiglia di grafici privi di (K2 u claw) .

Potrebbero esserci anche infinite catene ascendenti di classi trattabili

Esistono sicuramente catene ascendenti infinite. Se H è un insieme finito di grafici per i quali i grafici privi di H sono IS-facili, sia H 'i grafici formati aggiungendo un vertice indipendente a ciascun grafico in H. Quindi anche i grafici privi di H sono IS-facili: basta applicare l'algoritmo H-free agli insiemi di non vicini di ciascun vertice. Ad esempio, come descrive ISGCI, i grafici privi di gemme sono facili da IS per il motivo che una gemma è un P4 più un vertice indipendente e i grafici privi di P4 sono facili da IS. Quindi probabilmente vuoi limitare la tua domanda a classi massime in cui non tutti i sottografi proibiti hanno un vertice indipendente.

Un documento accettato da SODA 2014 fornisce un algoritmo di tempo polinomiale per l'impostazione Max Weight Independent $P_5$grafici gratuiti. http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/ISinP5free.pdf

Sia H un grafico su al massimo 5 vertici, quindi la complessità dell'insieme indipendente è nota sulla classe dei grafici privi di H.

Il problema è difficile se H contiene un ciclo o un vertice di grado 4. Gli unici casi rimanenti di H connesso sono$P_5$, artiglio e forchetta, per queste classi il problema è noto per essere polinomiale per H disconnesso senza cicli ci sono solo poche possibilità. Se H ha vertici isolati, è facile vedere che IS è polinomiale poiché è polinomiale per tutti i vertici H su 4 senza cicli. Il caso$H = P_2 \cup P_3$ è stato fondato da Lozin e Mosca nel 2005.