Dichiarazioni che implicano

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Questa è una specie di domanda a risposta aperta - per cui mi scuso in anticipo.

Ci sono esempi di affermazioni che (apparentemente) non hanno nulla a che fare con la complessità o le macchine di Turing ma la cui risposta implicherebbe $\mathbf{P}\neq \mathbf{NP}$ ?

cc.complexity-theory complexity-classes p-vs-np

— Dominic van der Zypen
fonte

4

Sarebbe "Non esiste un sistema di prova per la logica proposizionale in cui ogni tautologia

φ

$\varphi$ ha una prova della lunghezza polinomiale (nella lunghezza di

φ

$\varphi$ )". conta o è troppo vicino alla complessità a causa del limite polinomiale?

— Jan Johannsen,

Poiché non ci sono risposte "esatte" alla mia domanda, la tua congettura conta ... Sto solo cercando angoli sorprendenti e diversi sul problema P vs NP

— Dominic van der Zypen,

4

Immagino che la complessità descrittiva fornisca alcuni esempi. Ad esempio, la frase "ci sono proprietà (di strutture ordinate) espresse da formule esistenziali di secondo ordine che non possono essere espresse da formule universali di secondo ordine" è equivalente alla risposta di @ JanJohannsen, mentre "ci sono proprietà (di strutture ordinate) espresse da formule esistenziali del secondo ordine, che non può essere espressa in formule del primo ordine con un operatore del punto minimo fisso" è precisamente

P \neq N P

$\mathsf P\neq\mathsf{NP}$ . Contano questi?

— Damiano Mazza,

"

N \neq 1

$\mathbf{N}\neq 1$ e

P \neq 0

$\mathbf{P}\neq 0$ " * rimshot *

— David Richerby,

1

Domanda simile cstheory.stackexchange.com/questions/9806/…

— Tayfun paga il

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Un sistema di prova per la logica proposizionale è chiamato polinomialmente limitato , se ogni tautologia $\varphi$ ha una prova nel sistema di lunghezza polinomiale nella lunghezza di $\varphi$ .

L'affermazione "Non c'è polinomialmente delimitata sistema a prova proposizionale" è equivalente a da un risultato classico di Cook e Reckhow , in modo che implica . $\mathsf{NP} \neq \mathsf{co}\text-\mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— Jan Johannsen
fonte

2

Vorrei pensare che (per la definizione di un sistema a prova propositivo per il

lingua Completa di tautologie), l'ipotesi ( "Non esiste un sistema a prova per la logica proposizionale in cui ogni tautologia

ha una prova di polinomiale (in la lunghezza di

) lunghezza ") è quasi identica all'assunzione di

; e quindi quasi identica a ipotizzando

.

c o N P

$\mathsf{coNP}$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

N P \neq c o N P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{coNP}$

N P \neq P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{P}$

— Iddo Tzameret,

@IddoTzameret: ma abbiamo bisogno di sapere che la tautologia è

-Complete, giusto? E questo non è banale. Immagino che questo esempio stia semplicemente riaffermando l'interesse di avere problemi completi "naturali": possiamo parlare di classi di complessità senza parlare esplicitamente delle macchine usate per definirle (che sembra essere ciò che l'OP sta chiedendo). O forse ho frainteso il tuo commento ...

c o N P

$\mathsf{coNP}$

— Damiano Mazza,

@Damiano, penso che il fatto che TAUT sia coNP-completo sia banale, nel senso che è implicito dalla sua definizione e dalla completezza NP di SAT.

— Iddo Tzameret,

@IddoTzameret, Ok, ma sei d'accordo che la completezza

di SAT non è banale, giusto? Questo è essenzialmente quello che stavo dicendo. Voglio dire, tra l'affermazione "

" formulata in termini di macchine di Turing e il loro tempo di esecuzione e lo stamento "non esiste un sistema di prova proposizionale limitato polinomialmente" Vedo un divario non banale, sicuramente non sembra "quasi identico". Quel divario è nella completezza di TAUT o SAT, come preferisci, ma è lì. Non sei d'accordo?

N P

$\mathsf{NP}$

N P \neq c o N P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{coNP}$

— Damiano Mazza,

1

Sì, la proprietà "

è una prova di

" deve essere verificabile in tempo polinomiale (in

e

). E deve essere solida e completa, cioè una formula dovrebbe avere una prova se è una tautologia.

p

$p$

φ

$\varphi$

| p |

$|p|$

| φ |

$|\varphi|$

— Jan Johannsen,

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La teoria della complessità geometrica (GCT) (anche [1]) non è stata ancora menzionata. è un programma ambizioso per collegare P vs NP alla geometria algebrica. ad es. una breve sinossi del sondaggio Comprensione dell'approccio Mulmuley-Sohoni a P vs. NP , Regan:

La stabilità è informalmente una nozione di non essere "caotica" e si è sviluppata in un importante ramo della geometria algebrica sotto l'influenza guida di DA Mumford tra gli altri. Ketan Mulmuley e Milind Sohoni [MS02] osservano che molte domande sulle classi di complessità possono essere ripetute come domande sulla natura delle azioni di gruppo su determinati vettori in determinati spazi che codificano problemi in queste classi. Questo sondaggio spiega il loro quadro da un punto di vista laico e tenta di valutare se questo approccio aggiunge veramente nuovo potere agli attacchi sulla questione P. vs. NP.

anche qualche sinossi nella sezione "Una nuova speranza?" nello stato del problema P vs NP , Fortnow (2009)

Mulmuley e Sohoni hanno ridotto una domanda sull'inesistenza di algoritmi del tempo polinomiale per tutti i problemi NP-completi a una domanda sull'esistenza di un algoritmo del tempo polinomiale (con determinate proprietà) per un problema specifico. Questo dovrebbe darci qualche speranza, anche di fronte ai problemi (1) - (3).

Tuttavia, Mulmuley crede che ci vorranno circa 100 anni per realizzare questo programma, se funziona affatto.

[1] Spiegazione in stile Wikipedia della teoria della complessità geometrica (tcs.se)

— VZN
fonte

Grazie per aver portato GCT! Sembra toccare il mio problema [M], ma non l'avevo mai incontrato prima. "Questi problemi computazionali possono essere caratterizzati dalle loro simmetrie. Il programma mira a utilizzare queste simmetrie per dimostrare limiti inferiori."

— DukeZhou,

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Il seguente risultato di Raz (Elusive Functions and Lower Bounds for Arithmetic Circuits, STOC'08) si rivolge a (e non direttamente ), ma potrebbe essere abbastanza vicino per l'OP: $VP\neq VNP$ $P\neq NP$

$f:\mathbb F^n \to \mathbb F^m$ $(s, r)$ $Γ : \mathbb F^s → \mathbb F^m$ $r$ $f$ $\not⊂$ $Γ$

Per molte impostazioni dei parametri , le costruzioni esplicite di mappature polinomiali sfuggenti implicano forti limiti inferiori (fino a esponenziali) per i circuiti aritmetici generali. $n, m, s, r$

— Iddo Tzameret
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Che cos'è una mappatura polinomiale? Intendi "polinomio"? Intendi "funzione calcolabile tempo polinomiale"? Qualcos'altro?

— DW,

2

È semplicemente una sequenza di polinomi, ciascuno con le stesse variabili; quindi definisce una mappatura da a .

m

$m$

n

$n$

F^{n}

$\mathbb{F}^n$

F^{m}

$\mathbb{F}^m$

— Iddo Tzameret,

9

esiste un campo di complessità alquanto studiato / più recentemente studiato chiamato complessità del grafico che studia come i grafici più grandi sono costruiti da grafici più piccoli usando le operazioni AND e OR dei bordi. Jukna ha un bel sondaggio . in particolare usando le unità di "grafici a stella" esiste un teorema chiave, vedere l'osservazione p20 1.18 (il teorema è tecnicamente più forte di sotto e in realtà implica ): $P \ne NP/poly$

Abbiamo già saputo (Teorema 1.7) che esistono grafici bipartiti G di complessità stellare ; in realtà, tali sono quasi tutti i grafici. D'altra parte, il Lemma a forte ingrandimento implica che anche un limite inferiore di per una costante arbitrariamente piccola sulla complessità della stella di un esplicito grafico con avrebbe grandi conseguenze sulla complessità del circuito: un tale grafico darebbe una funzione booleana esplicita richiede il circuito esponenziale (nel numero $n × m$ $Star(G) = (nm/ \log n)$ $Star(G) ≥ (2+c)n$ $c > 0$ $n×m$ $G$ $m = o(n)$ $f_G$ $\log_2 nm$ di variabili) dimensioni! (Ricordiamo che, per le funzioni booleane, anche i limiti inferiori superlineari non sono noti finora.) In particolare, se il grafico è tale che l'adiacenza dei vertici in può essere determinata da una macchina di Turing non deterministica che funziona in un polinomio temporale in la lunghezza binaria dei codici dei vertici, quindi una limite inferiore per una costante arbitrariamente piccola implicherebbe che . Pertanto, la complessità delle stelle dei grafici cattura uno dei problemi fondamentali dell'informatica. $G$ $G$ $log_2 n$ $Star(G) ≥ (2 + c)n$ $c > 0$ $P \ne NP$

— VZN
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Penso che intendi . L'affermazione già banalmente conosciuta.

P / p o l y ⊅ N P

$P/poly \not \supset NP$

P \neq N P / p o l y

$P \neq NP/poly$

— Yonatan N,

@YonatanN è vero?

P \neq N P / p o l y

$P\neq NP/poly$

— T .... il

Sì. Anche P / poly contiene problemi al di fuori di P, come il problema di arresto unario.

— Yonatan N,

Grazie per il link Jukna! "La complessità è uno dei fenomeni scientifici cruciali dei nostri tempi. In questo capitolo consideriamo la complessità dei grafici."

— DukeZhou,

1

Che ne dici di Philip Maymin

"I mercati sono efficienti se e solo se P = NP " rivendicano?

— RB
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3

Le affermazioni e le "prove" in questo documento non sembrano rigorose e gli argomenti mi sembrano carenti. Hai letto questo documento?

— Rahul Savani,

L'ho esaminato e sono d'accordo sul fatto che la metodologia non è così convincente, per questo l'ho definita un "reclamo" piuttosto che un risultato.

— RB,

5

Ed è scritto in Microsoft Word: /

— gigabyte il

0

Gli analoghi di funzione di e ; e sarebbero anche interessanti nel loro studio della domanda (?). Mentre e sono problemi di decisione che restituiscono risposte sì / no a bit, e realtà restituiscono risposte ( verifica le risposte). Sappiamo che , iff . $P$ $NP$ $FP$ $FNP$ $P$ $=$ $NP$ $P$ $NP$ $1$ $FP$ $FNP$ $FNP$ $FP$ $=$ $FNP$ $P$ $=$ $NP$

— user3483902
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