Qualche polinomio che è difficile da contare ma facile da decidere?

Ogni circuito aritmetico monotono , ovvero un circuito , calcola alcuni polinomiali multivariati con coefficienti interi non negativi. Dato un polinomio , il circuito $\{+,\times\}$ $F(x_1,\ldots,x_n)$ $f(x_1,\ldots,x_n)$

calcola se vale per tutto ; $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in \mathbb{N}^n$
conta se vale per tutto ; $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in\{0,1\}^n$
decide se esattamente quando vale per tutti . $f$ $F(a)>0$ $f(a)>0$ $a\in\{0,1\}^n$

Conosco polinomi espliciti (anche multilineari) che dimostrano che il gap di dimensioni del circuito "calcola / conta" può essere esponenziale. La mia domanda riguarda il divario "conta / decide". $f$

Domanda 1: qualcuno è a conoscenza di un polinomio che è esponenzialmente più difficile da contare che decidere da -circuits? $f$ $\{+,\times\}$

Come possibile candidato, si potrebbe prendere il polinomio PATH le cui variabili corrispondono ai bordi del grafico completo su e ogni monomio corrisponde a un semplice percorso dal nodo al nodo in . Questo polinomio può essere deciso da un circuito di dimensione implementa, per esempio, l'algoritmo di programmazione dinamica Bellman-Ford, ed è relativamente facile dimostrare che ogni -circuit computing $K_n$ $\{1,\ldots,n\}$ $1$ $n$ $K_n$ $O(n^3)$ $\{+,\times\}$ PERCORSO deve avere dimensioni . $2^{\Omega(n)}$

D'altra parte, ogni circuito che conta PATH risolve il problema PATH, ovvero conta il numero di percorsi da a nel specificato dal sottografo di input - corrispondente di . Questo è un cosiddetto problema P -completo . Quindi, tutti "crediamo" che il PERCORSO non possa avere nessun conteggio -circuiti di dimensioni polinomiali. Il "solo" problema è provare questo ... $\#$ $1$ $n$ $0$ $1$ $K_n$ $\#$ $\{+,\times\}$

Posso dimostrare che ogni circuito che conta un HP polinomiale con percorso Hamiltoniano correlato richiede dimensioni esponenziali. I monomiali di questo polinomio corrispondono a percorsi da a in contenenti tutti i nodi. Sfortunatamente, la riduzione da HP a PATH di Valiant richiede di calcolare l'inverso della matrice Vandermonde, e quindi non può essere implementata da un circuito . $\{+,\times\}$ $1$ $n$ $K_n$ $\#$ $\#$ $\{+,\times\}$

Domanda 2: Qualcuno ha visto una riduzione monotona di HP a PERCORSO? $\#$ $\#$

E infine:

Domanda 3: È stata considerata una "versione monotona" della classe P ? $\#$

NB Si noti che sto parlando di una classe di circuiti molto limitata: circuiti aritmetici monotoni ! Nella classe di -circuits, la domanda 1 sarebbe semplicemente ingiusta da porre affatto: nessun limite inferiore maggiore di per tali circuiti, anche quando richiesto per calcolare un dato polinomio su tutti sono noti gli ingressi in . Inoltre, nella classe di tali circuiti, un "analogo strutturale" della domanda 1 - ci sono polinomi P - completi che possono essere decisi da poli-dimensione $\{+,-,\times\}$ $\Omega(n\log n)$ $\mathbb{R}^n$ $\#$ -circuiti? - ha una risposta affermativa. Tale è, ad esempio, il polinomio permanente PER . $\{+,-,\times\}$ $=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

AGGIUNTO: Tsuyoshi Ito ha risposto alla domanda 1 con un trucco molto semplice. Tuttavia, le domande 2 e 3 rimangono aperte. Lo stato di conteggio di PATH è interessante di per sé sia perché è un problema DP standard sia perché è # P-completo.

— Stasys
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Per quanto riguarda la domanda 1, che dire dell'aggiunta di 1 a un polinomio che è difficile da contare?

— Tsuyoshi Ito,

Le tue tre domande sembrano abbastanza distinte da essere tre domande separate.

— David Richerby,

Temo che non si possano evitare esempi banali semplicemente vietando le costanti nei circuiti aritmetici. Che ne dici di aggiungere x_1 + ... + x_n a un polinomio difficile da contare che prende 0 all'origine? (Inoltre, se proibisci le costanti, non puoi rappresentare un polinomio che assume un valore diverso da zero all'origine.)

— Tsuyoshi Ito

"Come nella" teoria #P ", sotto" decisione "intendiamo" esiste almeno una soluzione ". E le costanti non sono soluzioni (di solito). ' Sai, sei su un pendio scivoloso qui. Considera una controparte #P della Domanda 1: fornisci un esempio di relazioni R∈FNP tali che #R sia # P-completo ma è facile decidere se #R (x)> 0 o meno. Potremmo essere tentati di dire Abbinamento, ma questo è eccessivo. L'aggiunta di una soluzione banale a 3SAT funziona bene e il mio commento precedente è analogo a questo. (altro)

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi Ito: Bene, il tuo semplice trucco (aggiungi la somma di tutte le variabili a un polinomio difficile da contare) in realtà risponde alla domanda 1 (nella forma in cui è stato dichiarato). Potresti metterlo come una risposta?

— Stasys,

(Sto pubblicando i miei commenti come risposta in risposta alla richiesta del PO.)

Per quanto riguarda la domanda 1, f _n : {0,1} ⁿ → ℕ sia una famiglia di funzioni il cui circuito aritmetico richiede dimensioni esponenziali. Quindi anche f _n +1, ma f _n +1 è facile da decidere con un banale circuito aritmetico monotono. Se si preferisce evitare le costanti nei circuiti aritmetici monotone, allora f _n : {0,1} ⁿ → ℕ sia una famiglia di funzioni in modo tale che il circuito aritmetico per f _n richieda dimensione esponenziale e f _n (0,…, 0) = 0 e considera f _n + x ₁ +… + x _n .

— Tsuyoshi Ito
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