Correlazione dell'univalenza per una teoria dei cateogries con il concetto di scheletro

Suppongo che io lavori nella teoria dei tipi di omotopia e che i miei unici oggetti di studio siano le categorie convenzionali.

Le equivalenze qui sono date dai funzioni e che forniscono equivalenze delle categorie . Esistono isomorfismi naturali e modo che questo funzione e il funzione "inverso" vengono trasformati in funzione unità.$F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$$G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$ ${\bf C} \simeq {\bf D}$$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$$\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$

Ora l' univalenza mette in relazione le equivalenze con il tipo di identità della teoria del tipo intenzionale che ho scelto di parlare delle categorie. Dato che mi occupo solo di categorie e quelle sono equivalenti se hanno scheletri isomorfi , mi chiedo se posso esprimere l'assioma dell'univalenza in termini di passaggio allo scheletro delle categorie.${\bf C}={\bf D}$

O, altrimenti, posso definire il tipo di identità, cioè l'espressione sintattica in un modo che sostanzialmente dice "c'è uno scheletro (o isomorfo) e e sono entrambi equivalenti. "?${\bf C}={\bf D}:=\dots$${\bf C}$${\bf D}$

(In precedenza cerco di interpretare la teoria dei tipi in termini di concetti che sono più facili da definire - le nozioni teoriche di categoria. Ci penso perché moralmente, mi sembra che l'assioma "corregga" la teoria intenzionale dei tipi mediante codifica dura il principio di equivalenza , che è già una parte naturale della formulazione di dichiarazioni teoriche di categoria, ad esempio specificando gli oggetti solo in termini di proprietà universali.)

Ti rimando al capitolo 9 del libro HoTT. In particolare, una categoria è definita in modo tale che gli oggetti isomorfi siano uguali, vedere la definizione 9.1.6 . Come sottolinea l'Esempio 9.1.15 , in HoTT non esiste una nozione ragionevole di "scheletria". Questo perché l'uguaglianza è così debole che significa già "isomorfo".

Inoltre, dice il Teorema 9.4.16

$A$$B$

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$

Il teorema ci dice che l'Assioma Univalente ci dà una sorta di sogno del teorico cateory: categorie equivalenti sono uguali.

$1$$0$